高中数学不等式知识点总结 第1篇

就是常说的轮换对称，条件地位对等，求的函数地位对等时，可以一试

例若实数x，y满足4x^{2}-5xy+4y^{2}=5，则x^{2}+y^{2}的最大值为

解：通过肉眼观察x，y地位对等，于是猜测x=y故\\可以解得x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}，于是最大值为\frac{10}{3}

ps：此题可用于选择或判断快速解，当然也可用以上介绍的各种方法解

例若实数x，y满足4 x^{2}+y^{2}+xy=1，则2x+y的最大值为

解：通过观察发现2x，y地位对等，且可以互换，于是令2x=y，则y^{2}+y^{2}+\frac{1}{2}y^{2}=1，故答案为2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}

例设a，b＞0，a+b=5，则\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}的最大值为

解：令a+1=m，b+3=n，可知m，n地位对等，xxx+n=9于是最大值为3\sqrt{2}

习题已知实数a，b，c满足a+b+c=0，,a^{2}+b^{2}+c^{2}=1，则a的最大值为

（答案为 \frac{\sqrt{6}}{3} ）

十、数形结合（线性规划）

例求函数\sqrt{2+x^{2}}+2\sqrt{1-x^{2}}的值域

解：令u=\sqrt{2+x^{2}}\geq\sqrt{2}，v=\sqrt{1-x^{2}}\geq0，且u^{2}+v^{2}=3，y=u+2v

可知 y\in[\sqrt{3}，\sqrt{2}+2]

习题求函数\sqrt{2+x}-2\sqrt{x-1}的值域

习题求函数y=2\sqrt{2+x}-\sqrt {x-1}的值域

例已知函数f（x）=x^{2}+ax+b（a，b\in R）在区间（0，1）上有两个零点，则3a+b的取值范围是

解：f（0）=b＞0，f（1）=1+a+b＞0,0＜-\frac{a}{2}＜1，又有\triangle=a^{2}-4b＞0

即b＞0 ，a+b+1＞0， -2＜a＜0，a^{2}＞4b

于是3a+b \in（5,0）

习题2015年浙江高考文科第20 题

xxx尼斯圆：下面给出一些重要的细节

例在\triangle ABC中，已知sinB=2sinC，BC=2\sqrt{3}，求\triangle ABC面积的最大值

解：由正弦定理可得b=2c，由xxx尼斯圆可知

由于BC=2\sqrt{3},可知BN=\frac{2\sqrt{3}}{2}，BD=2\sqrt{3},所以2R=\frac{8\sqrt{3}}{3}，\\R=\frac{4\sqrt{3}}{3}故面积最大值为S_{\triangle ABC}\leq\frac{1}{2}\cdot2\sqrt3\cdot\frac{4\sqrt3}{3}=4

例已知向量\vec a,\vec b,\vec c为平面内三个单位向量，若\vec a\bot\vec b，则|\vec a+2\vec c|+|3\vec a+2\vec b-\vec c|的最小值为

解：转化题目为2|\vec c-（-\frac{\vec a}{2}）|+|\vec c-（3\vec a+2\vec b）|，固定向量\vec a，\vec b为坐标轴上的单位坐标

即转化题意为圆上一点到A距离的两倍与圆上一点到B的距离之和

由xxx尼斯圆定理可知，圆x^{2}+y^{2}=1刚好为xxx尼斯圆，其到点C（-2，0）的距离为其到点A（-\frac{1}{2}，0）的两倍

题目又转化为点B（3，2）与点C（-2，0）之间的距离，即得\sqrt{29}

高中数学不等式知识点总结 第2篇

1、利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”。

2、绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

3、解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?

4、解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”。

5、在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。

6、两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a》b》0，a

高中数学不等式知识点总结 第3篇

不等式知识点总结

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的.两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB,A+CB+C

在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，A*CB*C(C0)

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，A*C

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

高中数学不等式知识点总结 第4篇

\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}} 当且仅当a=b时等号成立

例 若a＞0，b＞0，且a+b=2，则\frac{1}{a}+\frac{1}{b}的最小值为 解：(\frac{a+b}{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=1+\frac{b}{2a}+\frac{a}{2b} \\\geq1+2\sqrt{\frac{1}{4}}=2当且仅当a=b=1时成立

ps：上述方法又称“1”的代换（乘“1”法），这个应该是基础题

例已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，则\frac{2y}{x+1}+\frac{1}{2y}的最小值为

解： 令x+1=m，2y=n，则原式=\frac{n}{m}+\frac{1}{n}\\=\frac{n}{m}+\frac{m}{2n}+\frac{1}{2}\geq\sqrt{2}+\frac{1}{2}

ps：通常使用换元法使得复杂的式换为简便的

习题已知实数x＞y＞0，且x+y=2，则\frac{4}{x+3y}+\frac{1}{x-y}的最小值为

（答案为9/4）

例若正数x，y满足x^{2}+4y^{2}+x+2y=1，则xy的最大值为

解：x+2y\geq2\sqrt{2xy},(x+2y)^{2}+x+2y=1+4xy\\\geq8xy+2\sqrt{2xy}\\解得0＜\sqrt{xy}＜\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},所以xy\leq\frac{2-\sqrt{3}}{4}

例已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为

解：xy+2x+3y=42，即（x+3）（y+2）=48，\\令x+3=m，y+2=n，则mn=48

xy+5x+4y=（x+4）（y+5）-20\\=（m+1）（n+3）-20=31+3m+n\\\geq31+2\sqrt{3mn}=55

例(两次不等式） 若a＞2b＞0，则（a-b）^{2}+\frac{9}{b(a-2b)}的最小值为

解：（a-b）^{2}+\frac{9}{b(a-2b)}=(b+a-2b)^{2}+\frac{9}{b(a-2b)}\\\geq4b(a-2b)+\frac{9}{b(a-2b)}\geq12\\当且仅当b=a-2b，ab（a-2b）=\frac{9}{b(a-2b)}时成立

引入参数进行配凑

例已知实数a，b，c满足a^{2}+b^{2}+c^{2}=1，则ab+bc+2ca的最大值为

设0＜m＜1，1=a^{2}+b^{2}+c^{2}=（ma^{2}+\frac{1}{2}b^{2}）+（\frac12b^{2}+mc^{2}）+(1-m)(a^{2}+c^{2})

\geq2\sqrt{\frac{m}{2}}ab+2\sqrt{\frac{m}{2}}bc+2(1-m)ac

令2\sqrt{\frac{m}{2}}=1-m，解得m=2-\sqrt{3}

因此（\sqrt3-1）(ab+bac+2ca)\leq1,即ab+bc+2ca\leq\frac{\sqrt3+1}{2}

当且仅当 b=（\sqrt3-1）a,c=a时取得等号

此方法技巧性强，难点在于如何拆分系数，还请读者慢慢体会

此题也可通过对称的方法看出c=a，进一步快速求解

习题已知实数a，b，c满足2a^{2}+3（b^{2}+c^{2}）=5，则2a（b+c）+\sqrt6bc的最大值为

（答案为 \frac{5\sqrt6}{3} ）

拓展形式

例已知a＞0，求a^{2}+\frac{1}a的最小值

解：a^{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\geq3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{2a2a}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}

高中数学不等式知识点总结 第5篇

(a^{2}+b^{2})(c^{2 }+d^{2})\geq(ac+bd)^{2}当且仅当ad=bc时成立

及其拓展形式

例在等差数列{a_{n}}中，若a_{1}^{2}+a_{19}^{2}=10，则数列{a_{10}}的前10项和S_{10}的最大值是

解：有(a_{1}+18d)^{2}+a_{1}^{2}=10，S_{10}=5(a_{1}+a_{10})=5(2a_{1}+9d)\\（2a_{1}+9d）^{2}\leq（a_{1}^{2}+（a_{1}+18d）^{2}）(（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2})\\(2a_{1}+9d )^{2}\leq25,故2a_{1}+9d\leq5，则S_{10}\leq25

例非负实数x，y满足x^{2}+4y^{2}+4xy+4x^{2}y^{2}=32，则\sqrt{7}（x+2y）+2xy的最大值为

解：（\sqrt{7}（x+2y）+2xy）^{2}\leq（（x+2y）^{2}+（2xy）^{2}）（（\sqrt{7}）^{2}+1）=32\cdot8\\即\sqrt{7}（x+2y）+2xy\leq16

例已知x，y\geq0，x+y\leq1，求4x^{2}+4y^{2}+（1-x-y）^{2}的最小值

解：（4x^{2}+4y^{2}+（1-x-y）^{2}）（\frac14+\frac14+1）\\\geq（(\sqrt{4x^{2}\cdot\frac{1}4}+\sqrt{4y^{2}\cdot\frac{1}4}+\sqrt{（1-x-y）^{2}}））^2=1\\4x^{2}+4y^{2}+（1-x-y）^{2}\geq\frac23

等号在4x=4y=1-x-y处取得，即x=y=\frac{1}{6}时取得

习题，y， z\in（0，+\infty）且x^{2}+y^{2}+z^{2}=1，则3xy+yz的最大值为

（答案为 \frac{\sqrt{10}}{2} ，此题可用xxx不等式以及基本不等式配凑技巧完成）

习题已知x＞0，y＞0且x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1，求x+\sqrt{2+3y^{2}}的最大值为

（答案为 \frac{2\sqrt{21}}{3} ，对于条件为定值的齐次型函数可以考虑xxx）

ps：xxx不等式主要是配凑系数并验证是否取得等号，会使一些复杂的题目迎刃而解

高中数学不等式知识点总结 第6篇

其中常用形式为 \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{y_{2}}\geq\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{y_{1}+y_{2}}

例已知x，y为非负实数，x+y=1，求\frac{1}{x^{2}}+\frac{8}{y^{2}}的最小值

解：\frac{1}{x^{2}}+\frac{8}{y^{2}}=\frac{1^{3}}{x^{2}}+\frac{2^{3}}{y^{2}}\geq\frac{（1+2）^{3}}{（x+y）^{2}}=27

当且仅当x=\frac{1}{3}，y=\frac{2}{3}时取得等号

例已知x\in（0，\frac{\pi}{2}），求\frac{1}{sinx}+\frac{7}{cosx}的最小值

（\frac{1}{sinx}+\frac{7}{cosx}）（\frac{1}{sinx}+\frac{7}{cosx}）（sin^{2}x+cos^{2}）\\\geq（（\frac{1}{sinx}\cdot\frac{1}{sinx}sin^{2}x）^{\frac{1}{3}}+（\frac{7}{cosx}\cdot\frac{7}{cosx}cos^{2}x）^{\frac{1}{3}}）^{3}=(1+\sqrt[3]{49})^3\\\frac{1}{sinx}+\frac{7}{cosx}\geq（1+7^{\frac{2}{3}}）^{\frac{3}{2}}

例若9x^{2}+4y^{2}+6xy=1，x，y\in R，则9x+6y的最大值为

解：1=（3x+y）^{2}+3y^{2}=\frac{（3x+y）^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{3}}\geq\frac{(3x+y+y)^{2}}{\frac{1}{3}+1}\\进而3x+2y\leq\frac{2\sqrt3}{3},故最大值为2\sqrt3

例设a，b为正实数，且a+2b+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{13}{2}，则\frac{1}{a}+\frac{2}{b}的最大最小值之和为

解：\frac{13}{2}-(a+2b)=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\geq\frac{(1+2)^{2}}{a+2b}=\frac{9}{a+2b}\\解得2\leq a+2b\leq\frac{9}{2}

\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=13-(a+2b)\in[2，\frac{9}{2}] ，故和为 \frac{13}{2}

ps:权方和与xxx不等式一样在于变形和巧妙地配凑

例已知实数x，y满足x^2+y^2=1,0

解：由xxx不等式可知\\（\frac{4}{x}+\frac{1}{y}）（\frac{4}{x}+\frac{1}{y}）（x^2+y^2）\geq(1+\sqrt[3]{16})^3\\取等条件为\frac{4}{x}:\frac{1}{y}=x^2:y^2\Rightarrow\frac{x}{y}=\sqrt[3]{4}

高中数学不等式知识点总结 第7篇

公式:||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|

例设f（x）=ax^{2}+bx+c，若当|x|\leq1时总有|f（x）|\leq1,求证：|f（2）|\leq7

解：由题意可得|f（0）|\leq1，|f（1）|\leq1，|f（-1）|\leq1，

又因为f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，

故|f（2）|=|4a+b+c|=|3a(a+b+c)+(a-b+c)-3c|=|3f(1)+f(-1)-3f（0）|

\leq3|f（1）|+|f（-1）|+|3f（0）|\leq3+1+3=7

例设f（x）=ax^{2}+bx+c（a\ne0），若|f(0)|\leq1,|f(1)|\leq1,|f(-1)\leq1,求证：对于任意的|x|\leq1，有f（x）\leq\frac54

解：f（-1）=a-b+c，f（1）=a+b+c，f（0）=c，则

a=\frac{1}{2}[f（1）+f（-1）-2f（0）],b=\frac{1}{2}[f（1）-f（-1）],c=f(0)

故f（x）=f（1）（\frac{x^{2}+x}{2}）+f（-1）（\frac{x^{2}-x}{2}）+f（0）（1-x^{2}）

当-1\leq\ x\leq0时 ， \left| f（x） \right|\leq |f\left( 1 \right)||\frac{x^{2}+x}{2}|+|f（-1）||\frac{x^{2}-x}{2}|+|f（0）|1-x^2|

\leq|\frac{x^2+x}{2}|+|\frac{x^2-x}2|+|1-x^2|=-(\frac{x^2+x}2)+\frac{x^2-x}2+\frac{x^2-x}2

=-x^{2}-x-1=-（x-\frac{1}{2}）^2+\frac54\leq\frac54

当0\leq x\leq1时，

\left| f（x） \right|\leq |f\left( 1 \right)||\frac{x^{2}+x}{2}|+|f（-1）||\frac{x^{2}-x}{2}|+|f（0）|1-x^2|

\leq|\frac{x^2+x}{2}|+|\frac{x^2-x}2|+|1-x^2|=(\frac{x^2+x}2)+\frac{-x^2+x}2+\frac{x^2-x}2

=-x^{2}-x-1=-（x-\frac{1}{2}）^2+\frac54\leq\frac54

故原命题得证

例（曼哈顿距）设f（x）=|x-a|+|x^2-b|，x\in[-2,2],记f（x）的最大值为M（x,y）,则M（a，b）的最小值为

解：由题意可得点Q（x，x^2）与p（a，b）的曼哈顿距离

下面找出最小的正方形框住函数，后求正方形（正方形边的斜率必为\pm1）对角线的一半长度即可

可画出草图即可得y-4=-（x-2），即y=-x+6，且一边与曲线相切有 x^2-x-b=0,\Delta=0得b=-\frac{1}{4} ，于是便为 \frac{25}{8}

ps：此类题目都是套路，多练几遍即可。

高中数学不等式知识点总结 第8篇

1、有理数

①整数→正整数/0/负整数

②分数→正分数/负分数

2、数轴：

①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

3、绝对值：

①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

4、有理数的运算：

加法：

①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：

①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：

求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

相信通过上面的学习，同学们对有理数知识点可以很好的掌握了，希望同学们在考试中取得好成绩。

高中数学不等式知识点总结 第9篇

n元函数f(x_1,x_2,\cdots,x_n)满足x_1,x_2,\cdots,x_n\geq0, \\(1)若x_1\cdot x_2\cdots x_n=0,f\geq0.\\ (2)D(f)\geq0; \\那么f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\geq0，其中算xxx可以粗略地理解为偏导数，其运算法则也相当。

例证明：a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\\ 证：(1)取c=0，a^2+b^2\geq ab,\\ (2)2a+2b+2c-( a+b+b+c+c+a)\geq0,显然成立

设a,b,c \in R^{+},证明：\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}. \\证：等价于证明2a^3+2b^3+2c^3-a^2b-a^2c-b^2a-b^2c-c^2a-c^2b\geq0. \\(1)取c=0，2a^3+2b^3-a^2b-b^2a\geq0\Rightarrow(a+b)(2a^2-3ab+2b^2)\geq0; \\(2)D(f)=6a^2+6b^2+6c^2-2ab-a^2-2ac-a^2-2ab-b^2-2bc-b^2-2ca-c^2-2cb-c^2=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ac-4bc\geq0\Rightarrow 上式

ps：全导数用于证明不等式，可不断降阶成一个简单的不等式。

知道这些方法应该大部分不等式的题目（指高中，不敢说全部）应该没什么问题了 。还有就是像一些向量和解析几何的最值题这些应该问题就不大了。

ps：如有误，请各位大佬指正QAQ

有PDF！！！

（第一次码文章，真的不易！！！）

高中数学不等式知识点总结 第10篇

解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的，实数性质威力大。

求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。

非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式 高二，以及归纳法。

图形函数来帮助，画图建模构造法。

高中数学不等式知识点总结 第11篇

高中数学不等式知识点总结：

1、用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

2、性质：

①如果x>y，那么y

②如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz

⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;(充分不必要条件)

⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;

⑦如果x>y>0，那么x的.n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂

或者说，不等式的基本性质有：

①对称性;

②传递性;

③加法单调性，即同向不等式可加性;

④乘法单调性;

⑤同向正值不等式可乘性;

⑥正值不等式可乘方;

⑦正值不等式可开方;

⑧倒数法则。

3、分类：

①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

②一元一次不等式组：

a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。