多元函数积分学总结 第1篇

设曲线l的方程 x=x(t),y=y(t),z=z(t),\alpha\leq t \leq \beta 。则弧长微元 ds=\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)+z^{\prime2}(t)}dt ，并有第一型曲线积分计算公式 \int_lf(x,y,z)ds=\int^\beta_\alpha f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)+z^{\prime2}(t)}dt

设曲面S的方程： z=z(x,y),(x,y)\in\sigma_{xy} 则曲面面积微元 dS=\sqrt{1+(\frac{\delta z}{\delta x})^2+(\frac{\delta z}{\delta y})^2}d\sigma, 并且有第一型曲面积分计算公式

\iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_{\sigma _{ xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(\frac{\delta z}{\delta x})^2+(\frac{\delta z}{\delta y})^2}d\sigma.

向量函数

向量函数

多元函数积分学总结 第2篇

（1）xxx公式的计算：

 例1、 

例2、

（有奇点，则把他拆成两份，一份复连通，一份单连通来计算）

（2）xxx公式的应用

1、四个等价条件

例1（用xxx公式构造被积函数为常数的二重积分后计算第二项曲面积分间接求面积）

 例2（用xxx公式性质1简化计算）

多元函数积分学总结 第3篇

1、介绍

例1（类比xxx公式的挖洞法，同样要有内外相反的性质）

 例2（xxx公式一律以外侧为正，复连通时内曲面要内侧为正，xxx公式则外逆内顺为正）

多元函数积分学总结 第4篇

1、极坐标法计算

极坐标法即为换元法的一种情况，其中x=rcosa，y=rcosa，此处的r为极径，而不是原来直接坐标系圆中的半径r，所以化为极坐标系始终有x^2+y^2=r^2

当二重积分的区域d为圆时且被积函数也为圆时，则区域d的4个像限内积分的结果一致，可以进行化简计算，即左区域面积为右区域的4倍

多元函数积分学总结 第5篇

例8：计算，其中是由直线，，xxx的。

解：先对，后对积分，积分区域为

如果改变积分次序，先对积分，后对积分，则

计算会非常复杂（选择合理的积分次序很关键）。

例9：交换下列二次积分的积分次序

解：根据积分形式可知，积分区域为

绘制该积分区域

可将积分区域重新记作：

解：根据积分形式可知，积分区域分别为

绘制积分区域

可将积分区域重新记作：

例10：证明

证：根据二次积分上下限可知积分区域为

交换此积分的积分次序，把积分区域重写为

在二重积分中，会有一些问题很难用直角坐标系来解决，比如

尽管可以通过直角坐标系将该二重积分表示为

但这个积分依然很难计算。有时候，可以借助极坐标系来计算。

在极坐标系中，对区域进行如下分割：

分割后的小区域为小扇形，其面积为

因此，在极坐标系下的面积元素为。

极坐标与直角坐标系下的转换关系为

因此，可得极坐标系下的二重积分公式

例11：计算，其中.

解：极坐标下积分区域，于是

例12：计算，其中为环形闭区域.

解：在极坐标系下，该积分区域可表示为

因此，

例13：计算，其中.

解：积分区域如图所示边界曲线的极坐标方程为

因此，在极坐标系下可表示为

一元函数定积分可以用以计算平面图形的面积，二重积分也可以。

当被积函数时，有

其中为积分区域的面积。

例14：求曲线与所xxx的平面图形的面积。

解：所求平面图形在直角坐标系中如图所示

利用一元函数定积分可得

可令，则，当时，；当时，；因此，

考虑使用二重积分，区域的边界为：

积分区域可描述为

设曲面由方程

给出，为曲面在平面上的投影区域，函数在上具有连续偏导数和，那么曲面的面积可由如下公式计算：

假设用平行于轴和轴的两组平行直线分割投影区域，取的一块记作（面积也记作），则所对应的那块曲面，可以近似地使用的某点处的切平面来表示

其中表示切平面与平面的夹角，也即切平面法向量与轴单位向量 的夹角,于是

例15: 求球面的表面积.

解：上半球面方程为

在平面上的投影区域为：

同时，

球面面积为

根据二重积分的几何意义可知，的绝对值表示以为曲顶，以区域为底的曲顶柱体的体积，所以空间立体的体积可以通过二重积分

来计算。

例16：求半径为的球的体积。

解：上半球面方程为

底部为圆域

例17：求由锥面和半球面所xxx的立体的体积。

解：球面与锥面所围的立体在平面上的投影为有界闭区域

来自： 当以读书通世事 > 《073-数学（大中小学）》

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偏导数与重积分

1．函数的偏导数二、偏导数的定义及计算法定义（1）把函数z=f(x,y)中的的y当作常数后，z对x的导数，称为函数z=f(x,y)对x的偏导数或记作（2）把函数z=f(x,y)中的的x当作常数后，z对y的导数，称为函数z=f...

多元函数积分学总结 第6篇

总结一下做题步骤：

①先把二重积分转换为累次积分

②把参数方程带入（注意此时的积分区域也要相应转变）化定积分

③再转为极坐标形式

重中之重是确定积分区域

有时候积分困难，尝试着交换积分顺序看是否能把积分简化

第一类题：对f(x)积分，但是f(x)表达式不清楚，先交换积分次序

第二类题：函数表达式中含有一个二重积分。这类题的做题步骤

①因为二重积分是个常数，所以先设置为一个A

②然后对新构成的f(x,y)进行双重积分，积分结果为A（上一步骤设置的）

③然后A=1/2....，把A求出来。得到f(x,y)具体的表达式

第三类题：涉及微分方程和二重积分的题，这题有个特点就是，表达式也有二重积分。做题步骤

①先把后面的二重积分转化为一重积分（转化为极坐标， \theta 与本身函数无关，就能转换为一重）

②解微分方程，带入一个已知点，就可以把方程完整表示出来

第四类题：多重积分与极限的题，常规方法是交换积分顺序、洛必达，二重积分中值定理

定积分中值定理: \int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\varepsilon)

二重积分中值定理 \iint_{D}f(x,y)d\sigma=\sigma f(\varepsilon,\eta)

例题：（出自660T273）

其实很简单，直接观察若二重积分里面函数的形式为f(x,y)，则用第二类，设二重积分为A，若比如里面积分函数形式为f( \sqrt{x^2+y^2} ),则用二重积分转一重积分，然后求导，利用微分方程把表达式求出来。

这类题型主要有两种

1.比较积分大小

①相同积分区域，只需比较积分内的函数大小。大的就大。

②不同区域，但有相同的积分函数，若被积函数都是正值，则区域越大，积分越大。但是不能简单的认为区域越大，积分越大。因为可能存在负的积分。

例题：（660T272）

2.关于积分不等式的证明

这类题的方法都比较固定，那个典型的方法来说，解题步骤

①把都关于dx的积分，转换为关于dx，dy的积分，即把一个x改写为y，便于化为二重积分

②化为二重积分后，一般来说，积分区域都是关于y=x对称，利用对称对积分改写为1/2.....

③然后根据题目所给条件或者一些简单的不等式就可以把题解出来

例如： \int_{a}^{b}f(x)dx\int_{a}^{b}\frac{1}{f(x)}dx\geq(b-a)^2 改写为 \int_{a}^{b}f(x)dx\int_{a}^{b}\frac{1}{f(y)}dy 然和合并为二重积分。

多元函数积分学总结 第7篇

1、穿针法（先一后二，那么先求出z的上下限（不能含z），将被积函数对z积分后，则转为对二重积分的计算）

做法：沿平行z轴正方向穿针，穿入为下限z1，穿出为上限z2，投影到xoy面上，将z转为x与y后，计算投影在xoy面的二重积分（沿y轴或z轴同理）

理解：将物体分解为无数个大小质量不一的针（先一后二）

2、截面法（先把对应的单变量与其的积分提至左侧，之后求出面积且面积式子只能由单变量来表达，则转为对定积分的计算）

使用范围：适用于被积函数只有一个变量且截面面积很好求的情况（求的面积不是像穿针法那样投影的那个面，而是要适用于每一个截面）

做法：先确定被积变量的取值范围，后固定z（这样才将截面里的x，y用z表示），求每个截面的面积表达式

例如：积分区域为第一卦限的x^(2)+y^(2)+z^(2)=1，则每一片截面都有符合S=πr^2/4,又因为此时的r^2=x^2+y^2=z^2-1（此时的r对应的x与y在球面上，所以可以用x^2+y^2+z^2=1进行代换，这样求出来的截面才是对应的截面）,即完成把面积用z来表示

理解：将物体分解为无数个大小质量不一的面（先二后一）

例1（求三角形面积时，求边长时要到对应的平面内去求，此时就要根据特定的直线的方程式来求）

使用范围：投影为圆的一部分，被积函数有f（x^2+y^2）形式

做法：穿针法的基础上，将z变为r与而不是x与y，将dxdydz=rddrdz

（穿针法，先一后二，先积z）

使用范围：积分区域为球/锥面，或被积函数为f（x^2+y^2+z^2）形式

三个参数：x=rcossin,y=rsinsin,z=rcos，记得换元后乘r^2sin

:投影到xoy面与x轴正方向的夹角

：固定，与整个z轴的夹角，由最小到最大

r：从原点引射线，穿过区域，穿入为下限，穿出为上限

 做法：先定后定最后定r的范围，后定的上下限可以含先定的未知数，反过来不可

1、奇偶对称性：

积分区域关于xoy对称，则被积函数求关于z的奇偶函数，其他同理

2、轮换对称性：

积分区域的x与y互换，如果积分区域形式不变，则被积函数中可以进行相同轮换且积分值不变

1、二重积分的换元法：

2、三重积分的换元法： （x,y,z对应1,2,3行,换元后的r,，z对应1,2,3列）

换元法（将原变量转换后，求出其对应的上下限替换，并且记得乘上雅克比行列式求出的对应参数）

例1、

例2、