三角函数周期性公式大总结 第1篇

正弦定理

\triangle ABC 的角 A, B, C 对应的 3 边分别为 a, b, c。其外接圆半径为R，则有

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

余弦定理

\triangle ABC 的角 A, B, C 对应的 3 边分别为 a, b, c。则有

a^{2}=b^{2} + c^{2}-2bc·\cos A

b^{2}=a^{2} + c^{2}-2ac·\cos B

c^{2}=a^{2} + b^{2}-2ab·\cos C

三角函数周期性公式大总结 第2篇

求极限

1）\lim_{x \rightarrow \alpha}{\frac{\sin x-\sin\alpha}{x-\alpha}} （高等数学第七版 1-9 习题 ）

2）\lim_{x \rightarrow 0}{(1+3\tan^{2}x)^{\cot^{2}x}} （高等数学第七版 1-9 习题 ）

求导数

1） y=\frac{\arcsin x}{\arccos x} （高等数学第七版 2-2 习题 ）

2）计算摆线的参数方程

\{_{y=a(1-\cos t)}^{x=a(t-\sin t),}

所确定的函数 y=y(x)的二阶导数.（高等数学第七版 2-4 例9）

3）求 y=\tan(x+y) 的二阶导数 \frac{d^2y}{dx^2} .（高等数学第七版 2-4 习题 ）

求根

1） \frac{\cos\xi}{1-\sin\xi}=\frac{2}{\pi-2}, \xi\in(0,\frac{\pi}{2}) .(高等数学第七版 3-1 习题 3 倒数第二步)

求不定积分

1） \int_{}^{}\sin^{3}xdx .(高等数学第七版 4-2 例题 11)

2） \int_{}^{}\cos^{2}xdx .(高等数学第七版 4-2 例题 14)

3） \int_{}^{}\csc xdx .(高等数学第七版 4-2 例题 18)

4）\int_{}^{}\sec xdx .(高等数学第七版 4-2 例题 19)

5） \int_{}^{}\cos3x\cos2xdx .(高等数学第七版 4-2 例题 20)

6） \int_{}^{}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}} .(高等数学第七版 4-2 习题 )

7） \int \frac{\sin x}{1+\sin x\cos x}dx .(知乎专栏 数学杂谈 用三角变换巧解一个不等式)

（本题1,2小问证明为定积分相关内容，想练习三角公式的同学直接使用1,2的结论求3即可）

设 f(x) 是连续的周期函数，周期为T：

1）证明 \int_{a}^{a+T}fxdx=\int_{0}^{T}f(x)dx ；

2）证明 \int_{a}^{a+nT}fxdx=n\int_{0}^{T}f(x)dx（n \in N）；

3）计算 \int_{0}^{n\pi}\sqrt{1+\sin2x}dx .

(高等数学第七版 5-3 例7)

三角函数周期性公式大总结 第3篇

\sin\alpha·\csc\alpha=1

\cos\alpha·\sec\alpha=1

\tan\alpha·\cot\alpha=1

\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha=1 (1-3-1 式)

1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha

1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alpha

三角函数周期性公式大总结 第4篇

如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期。

（1）y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h最小正周期T=2π/ω。

（2）y=Acot(ωx+φ)+h或y=Atan(ωx+φ)+h最小正周期T=π/ω。

（3）y=|sinωx|或y=|cosωx|的最小正周期T=π/|ω|。

（4）y=|tanωx|或y=|cotωx|的最小正周期T=π/|ω|。

三角函数周期性公式大总结 第5篇

三角函数的周期T=2π/ω。

完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。

在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期。周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等

求三角函数的周期，若函数式比较简单，可利用定义或周期公式直接求解，若函数式比较复杂，则需要把函数式变形后再利用定义或周期公式求解。

三角函数周期性公式大总结 第6篇

公式列出

\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha}{2}} (* 8-1式)

\cos\alpha=\frac{1-\tan^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2}\frac{\alpha}{2}} (* 8-2式)

\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^{2}\frac{\alpha}{2}} (* 8-3式)

记忆方法

8-1式 和 8-2式待续。

8-3式 和 6-3式 是同一个公式。

三角函数周期性公式大总结 第7篇

公式列出

\cos\alpha ·\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)] (* 4-1 式)

\sin\alpha ·\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+ \beta)+\sin(\alpha - \beta)] (* 4-2 式)

\cos\alpha · \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] (* 4-3 式)

\sin\alpha · \sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] (* 4-4 式)

记忆方法

4-1式 = 3-1式 - 3-2式

4-2式 = 3-1式 + 3-2式

4-3式 = 3-3式 + 3-4式

4-4式 = 3-3式 - 3-4式

三角函数周期性公式大总结 第8篇

求极限

1） \lim_{x \rightarrow \alpha}{\frac{\sin x-\sin\alpha}{x-\alpha}}= \lim_{x \rightarrow \alpha}{\frac{\cos\frac{x+\alpha}{2}\sin\frac{x-\alpha}{2}}{\frac{x-\alpha}{2}}}= \cos\alpha

2） \lim_{x \rightarrow 0}{(1+3\tan^{2}x)^{\cot^{2}x}}= \lim_{x \rightarrow 0}{(1+3\tan^3x)}^{\frac{1}{3\tan^3x}·3}= e^3

求导数

1） y^{'}= \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}·\arccos x-\arcsin x·(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})}{\arccos^{2}x}= \frac{\arcsin x+\arccos x}{\sqrt{1-x^2}\arccos^2x}= \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}\arccos^2x}

\frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}= \frac{a\sin t}{a(1-\cos t)}= \frac{\sin t}{1-\cos t}= \cot\frac{t}{2}\space\space\space(t\ne2n\pi,n\in Z).

\frac{d^2y}{dx^2}= \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})= \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\frac{1}{\frac{dx}{dt}}= -\frac{1}{2\sin^2\frac{t}{2}}·\frac{1}{a(1-\cos t)}= -\frac{1}{a(1-\cos t)^2}\space\space\space(t\ne2n\pi,n\in Z)

y'=[\sec^2(x+y)]·(1+y')=[1+\tan^2(x+y)]·(1+y')=(1+y^2)(1+y'),

y'=\frac{1+y^2}{1-(1+y^2)}=-\frac{1}{y^2}-1

y''=\frac{2y'}{y^3}=-\frac{2(1+y^2)}{y^5}=-2\csc^2(x+y)\cot^3(x+y)

求根

1） \frac{\cos\xi}{1-\sin\xi}=\frac{2}{\pi-2}

\frac{\frac{1-\tan^2\frac{\xi}{2}}{1+\tan^2\frac{\xi}{2}}}{1-\frac{2\tan\frac{\xi}{2}}{1+\tan^2\frac{\xi}{2}}}= \frac{2}{\pi-2}

\frac{1+\tan\frac{\xi}{2}}{1-\tan\frac{\xi}{2}}=\frac{2}{\pi-2}

\tan\frac{\xi}{2}=\frac{4-\pi}{\pi}

\xi=2\arctan(\frac{4-\pi}{\pi})

求不定积分

1） \int_{}^{}\sin^{3}xdx= \int_{}^{}\sin^{2}x·\sin xdx= -\int_{}^{}(1-\cos^{2}x)·d(\cos x)= -\cos x+\frac{1}{3}\cos^{3}x+C

\int_{}^{}\cos^{2}xdx= \int_{}^{}\frac{1+\cos2x}{2}dx= \int_{}^{}\frac{1}{2}dx+\int_{}^{}\frac{\cos2x}{4}d2x= \frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4} + C

\int_{}^{}\csc\space xdx= \int_{}^{}\frac{1}{\sin x}dx= \int_{}^{}\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}·\cos\frac{x}{2}}dx

= \int_{}^{}\frac{1}{\tan\frac{x}{2}·\cos^{2}\frac{x}{2}}d(\frac{x}{2})= \int_{}^{}\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}d(\tan\frac{x}{2})

=\ln\left| \tan\space \frac{x}{2} \right|+C

或者因为

\tan\frac{x}{2}= \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}= \frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{\sin x}= \frac{1-\cos\ x}{\sin x}= \csc x - \cot x

故不定积分也可表为

\int_{}^{}\csc xdx= \ln\left| \csc x - \cot x \right|+C

4） \int_{}^{}\sec xdx= \int_{}^{}\csc (x+\frac{\pi}{2})d(x+\frac{\pi}{2})

应用上一题 结果

= \ln\left| \csc(x+\frac{\pi}{2})-\cot(x+\frac{\pi}{2}) \right|+C= \ln\left| \sec x + \tan x \right| + C

5） \int_{}^{}\cos3x\cos2xdx

= \int_{}^{}\frac{1}{2}(\cos5x + \cos x)dx

= \frac{1}{2}[\int_{}^{}\frac{1}{5}\cos5xd5x + \int_{}^{}\cos xdx]

= \frac{1}{10}\sin5x + \frac{1}{2}\sin x + C

6） \int_{}^{}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}}

设 x=\sin t,\space dx=\cos tdt

\int_{}^{}\frac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}}= \int_{}^{}\frac{\cos tdt}{1+\cos t}

= \int_{}^{}\frac{(2\cos^2\frac{t}{2}-1)dt}{1+2\cos^2\frac{t}{2}-1}

= \int dt-\int \sec^2\frac{t}{2}dt

= t-\tan\frac{t}{2} + C

= t-\frac{\sin t}{1+\cos t} + C

= \arcsin x-\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} + C

7） \int \frac{\sin x}{1+\sin x\cos x}dx

= \frac{1}{2}\int \frac{\sin x+\cos x+\sin x-\cos x}{1+\sin x\cos x}dx

= \frac{1}{2}[\int \frac{\sin x+\cos x}{1+\sin x\cos x}dx+\int \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x\cos x}dx]

= \int \frac{\sin x+\cos x}{3-(\sin x-\cos x)^2}dx+\int \frac{\sin x-\cos x}{1+(\sin x+\cos x)^2}dx

= \int \frac{d(\sin x-\cos x)}{3-(\sin x-\cos x)^2}-\int \frac{dx(\sin x+\cos x)}{1+(\sin x+\cos x)^2}\

= \frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\left| \frac{\sin x - \cos x + \sqrt 3}{\sin x - \cos x - \sqrt 3} \right|-\arctan(\sin x + \cos x)+ C

证：1）记 \phi(a)=\int_{a}^{a+T}f(x)dx ，则

\phi'(a)=[\int_{0}^{a+T}f(x)dx-\int_{0}^{a}f(x)dx]'=f(a+T)-f(a)=0 ，

知\phi(a) 与 a 无关，故 \phi(a)=\phi(0) ，即

\int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx.

2） \int_{a}^{a+nT}f(x)dx= \sum_{k=0}^{n-1}{\int_{a+kT}^{a+kT+T}f(x)dx} ，由1）知

\int_{a+kT}^{a+kT+T}f(x)dx= \int_{0}^{T}f(x)dx ，

\int_{a}^{a+nT}f(x)dx= n\int_{0}^{T}f(x)dx

3） \int_{0}^{n\pi}\sqrt{1+\sin2x}dx

= n\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\sin2x}dx

= n\int_{0}^{\pi}\left| \sin x+\cos x \right|dx

= \sqrt 2n\int_{0}^{\pi}\left| \sin(x+\frac{\pi}{4}) \right|dx

= \sqrt 2n\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\left| \sin(x) \right|dx

= \sqrt 2n\int_{0}^{\pi}\left| \sin(x) \right|dx

= \sqrt 2n\int_{0}^{\pi} \sin(x)dx

= 2\sqrt{2}n

三角函数周期性公式大总结 第9篇

(1)定义法：题目中提到f(x)=f(x+C),其中C为已知量，则C为这个函数的一个最小周期。

(2)公式法：将三角函数的函数关系式化为：y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h， 则周期T=2π/ω。若函数关系式化为：y=Acot(ωx+φ)+h或者y=Atan(ωx+φ)+h，则周期为T=π/ω。

(3)定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且(P1、P2)=1

∵f(x+ P1T2)=f1(x+ P1T2)+f2(x+ P1T2)

=f1(x+ P2T1)+ f2(x+ P1T2)

= f1(x)+ f2(x)

=f(x)

∴P1T2是f(x)的周期，同理P2T1也是函数f(x)的周期。

当T为一个三角函数的周期时，NT也为这个三角函数的周期。其中N为不为0的正整数。