极限知识总结 第1篇

数列极限类题目主要就是选定方法，从 \begin{cases} 单调有界\\ 夹逼准则\\ 定积分定义\\ \end{cases} 选择解题方法，难点的题可能是两种方法结合起来。

\left \{ x_{n} \right \} \uparrow 有上界或 \left \{ x_{n} \right \} \downarrow 有下界，则 \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} 存在 单调有界证明递推公式 x_{n+1}=f(x_{n}) 类型极限的方法

\begin{cases} 1、适当放缩，证明有界性\\ 2、证明单调性\begin{cases} （1）作差x_{n+1}-x_{n} （和0比） \\ （2）作商\frac{x_{n+1}}{x_{n}} （和1比）\\ （3）求导y=f(x)\begin{cases} f{}'(x)>0,f(x)\uparrow ，\begin{cases} x_{1}< x_{2},x_{2}=f(1) x_{2},x_{3}=f(2)f(2)=x_{3},\left \{ x_{n}\right \}不单调 \\ x_{1}> x_{2},x_{3}=f(2)>f(1)=x_{2},\left \{ x_{n}\right \}不单调\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ 3、若\left \{x_{n} \right \}单调有界，则\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} 存在，令 \lim\limits_{n \to \infty} x_{n}=a，x_{n+1}=f(x_{n})，两端取极限，a=f(a)，解得a\\ \end{cases}

{\Large 例} (2006) 0 , x_{n+1}=sinx_{n} ,（1）证明 \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} \exists 并求之；（2） \lim\limits_{n \to \infty}（\frac{x_{n+1}}{x_{n}}）^{\frac{1}{x_{n}^{2}}}

{\color{Red}{ \because 0

{\color{Red}{ \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} =a，sina=a,a=0} }

{\color{Red}{ \lim\limits_{n \to \infty}（\frac{x_{n+1}}{x_{n}}）^{\frac{1}{x_{n}^{2}}} =\lim\limits_{n \to \infty}（\frac{sinx_{n}}{x_{n}}）^{\frac{1}{x_{n}^{2}}},由离散改写为连续x_{n}改写x，x\rightarrow 0 ，\lim\limits_{x \to 0}（\frac{sinx}{x}）^{\frac{1}{x^{2}}}\overset{1^{\infty}}=e^{\lim\limits_{x \to 0 } \frac{1}{x^{2}}[\frac{sinx-x}{x}]} =e^{\lim\limits_{x \to 0 } \frac{-\frac{1}{6}x^{3}}{x^{3}}} =e^{-\frac{1}{6}}，\therefore \lim\limits_{n \to \infty}（\frac{x_{n+1}}{x_{n}}）^{\frac{1}{x_{n}^{2}}} =e^{-\frac{1}{6}}} }

{\Large 例} (2018) 设数列 \left \{ x_{n} \right \} 满足 x_{1} >0，x_{n} e^{x_{n+1} }=e^{x_{n} }-1\left( n=1,2, \dots \right) 证明 \left \{ x_{n} \right \} 收敛并求\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}

证： {\color{Red}{n=1,x_{1}>0} }

{\color{Red}{假设 n=k,x_{k}>0，x_{k} e^{x_{k+1} }=e^{x_{k} }-1\overset{放缩，同除正数x_{k}}{>} x_{k}，e^{x_{k+1} }\overset{e^{x}单调增}{>} e^{0 },x_{k+1}>0} }

{\color{Red}{ \therefore \left \{ x_{n} \right \}为正项级数有下界0} }

{\color{Red}{e^{x_{n+1} }=\frac{e^{x_{n} }-1}{x_{n}}=\frac{e^{x_{n} }-e^{0}}{x_{n}}\overset{拉格朗日中值}{=====}\frac{e^{\xi }（{x_{n} }-0）}{x_{n}}=e^{\xi }（0<\xi

{\color{Red}{\because 0<\xi

{\color{Red}{ \therefore \left \{ x_{n} \right \}单调减且有下界，故数列收敛} }

{\color{Red}{ \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} =a，a e^{a }=e^{a}-1(a\geq0),设f(x)=xe^{x }-e^{x}+1，f{}' (x)=xe^{x }恒大于等于0，f (x)\uparrow,f (x)\geq f (0)=0,\therefore f (x)只有唯一0解} }

{\color{Red}{故a=0，\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} =0} }

x_{n} \le y_{n}\le z_{n} , 且 \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} =\lim\limits_{n \to \infty} z_{n} =a ,则 \lim\limits_{n \to \infty} y_{n}=a

{\Large 例} { { \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}+1} +\frac{2}{n^{2}+2}+\dots +\frac{n}{n^{2}+n} )} }

{\color{Red}{\frac{n\cdot(n+1)}{2} \frac{1}{n^{2}+n}<\Box <\frac{1}{n^{2}+1}\frac{n\cdot(n+1)}{2}} }

{\color{Red}{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n\cdot(n+1)}{2}\frac{1}{n^{2}+n}=\frac{1}{2}} } {\color{Red}{ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^{2}+1} \frac{n\cdot(n+1)}{2}=\frac{1}{2}} } {\color{Red}{ ,所以原式=\frac{1}{2}} } {\Large 例} a_{1} 、a_{2 }、\cdots a_{m }>0，则 \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} +{a_{2}^{n}+\dots+{a_{m}^{n} }}}

{\color{Red}{a_{max}=\sqrt[n]{a_{max}^{n}}\leq\sqrt[n]{a_{1}^{n} +{a_{2}^{n}+\dots+{a_{m}^{n}}}} \leq\sqrt[n]{ma_{max}^{n}}=\sqrt[n]{m}a_{max}} }

{\color{Red}{ \lim\limits_{n \to \infty} m^{\frac{1}{n}}=1} } {\color{Red}{ ,所以原式={a_{max}}} }

夹逼准则重要结论： n 次根号下n 次方的和，极限为最大值

{\Large 例} （2008） { { \lim\limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{a^{-n}+b^{-n}}(a>b>0)} }

{\color{Red}{ \lim\limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{\left( \frac{1}{a} \right)^{n}+\left( \frac{1}{b} \right)^{n}}(\frac{1}{b}>\frac{1}{a}>0)=\frac{1}{b}} }

{\Large 例} （2005） { { \lim\limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{1+\left| x \right|^{3n}}} }

{\color{Red}{ \lim\limits_{n \to \infty }\sqrt[n]{1+\left| x \right|^{3n}}=\begin{cases} \left | x \right | ^{3} , \left | x \right |>1\\ 1, \left | x \right |\le 1\\ \end{cases}} }

定积分定义求数列极限 \left[ 0,1 \right] ， n 等分，取端点

\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n} )\frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x)dx

定积分求极限步骤：

第一步：改写，谁变把谁改为 i

第二步：提 \frac{1}{n}

第三步：改写成定积分 \begin{cases} \frac{i}{n}\Rightarrow x \\ \frac{1}{n}\Rightarrow dx \\ \end{cases}

{\Large 例} { { \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2}+\dots +\frac{1}{n+n} )} }

{\color{Red}{先简单放缩，夹逼，两边不一致，改用定积分，\frac{1}{2}=\frac{n}{n+n}<\Box <\frac{n}{n+1}=1} }

{\color{Red} {第一步：改写，\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{n+i}}}

{\color{Red} {第二步：提 \frac{1}{n}，\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\frac{1}{n}}}

{\color{Red} {第三步：改写成定积分，\underset{\Downarrow\int }{ \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}} {\color{Green} {\underset{\Downarrow \frac{1}{1+x} }{ \frac{1}{1+\frac{i}{n}}}}} \underset{\Downarrow dx }{ \frac{1}{n}}=\int_{0}^{1} \frac{1 }{1+x} dx=ln2}} {\color{Green} {}}

{\Large 例} (2012) { { \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n}{n^{2}+1} +\frac{n}{n^{2}+2}+\dots +\frac{n}{n^{2}+n} )} }

{\color{Red} {\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+i^{2}}=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n^{2}}{n^{2}+i^{2}}\frac{1}{n}=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\left( \frac{i}{n} \right)^{2}}\frac{1}{n}=\int_{0}^{1} \frac{1 }{1+x^{2}} dx=arctanx\mid _{0}^{1} =\frac{\pi}{4}}} {\Large 例} (2016) { { \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} (sin\frac{1}{n} +2sin\frac{2}{n}+\dots +nsin\frac{n}{n} )} }

{\color{Red} {\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}\cdot i\cdot sin\frac{i}{n}=\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{n}\cdot sin\frac{i}{n}\cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} xsinx dx=(-xcosx+sinx)\mid _{0}^{1} =sin1-cos1}}

{\Large 例} (1998) { { \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{sin\frac{\pi}{n}}{n+1} +\frac{sin\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{1}{2}} +\dots +\frac{sin\frac{n\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}} )} }

{\color{Red} {本题分子分母都有变量，不好改写。考虑先把简单因子往两头放缩，再求两边极限，若相等利用夹逼准则}}

{\color{Red}{(\frac{sin\frac{\pi}{n}}{n+1} +\frac{sin\frac{2\pi}{n}}{n+1} +\dots +\frac{sin\frac{n\pi}{n}}{n+1} )< (\frac{sin\frac{\pi}{n}}{n+1} +\frac{sin\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{1}{2}} +\dots +\frac{sin\frac{n\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}} ) <(\frac{sin\frac{\pi}{n}}{n} +\frac{sin\frac{2\pi}{n}}{n} +\dots +\frac{sin\frac{n\pi}{n}}{n} )} }

{\color{Red} {\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{sin\frac{i\pi}{n}}{n}= \int_{0}^{1} sin\pi x dx=\frac{2}{\pi}}} {\color{Red} {\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{sin\frac{i\pi}{n}}{n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{n+1} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{sin\frac{i\pi}{n}}{n}= 1\cdot\int_{0}^{1} sin\pi x dx=\frac{2}{\pi}，故原极限=\frac{2}{\pi}}}

极限知识总结 第2篇

函数极限类题目通常展现为7类不定式 \left ( \frac{0}{0}，\frac{\infty }{\infty }，{\scriptstyle{0\cdot \infty}} ，{\scriptstyle{\infty } -{\infty }} ，{0}^{0}， {\scriptstyle{\infty}}^{0}，{1}^{{\scriptscriptstyle{\infty}}} \right ) ，对于每个类型不定式都有相应上述5种解题方法1、洛必达；2、等价；3、xxx；4、导数定义；5、拉格朗日 中的几种。

\frac{0}{0} \begin{cases} 等价（3组） \\ 洛必达（简单函数） \\ xxx公式（8个）\\ \end{cases}

{\Large 例} { {\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{x}-sinx-1}{1-\sqrt{1-x^{2}}} } } （ \frac{0}{0} ）

{\color{Red}{对于\frac{0}{0}型，第一优先考虑等价。\because \sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x,\therefore \sqrt{1-x^{2}}-1\sim-\frac{1}{2} (-x^{2}) =\frac{1}{2} x^{2} } }

{\color{Red}{=\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x}-sinx-1}{\frac{1}{2}x^{2}} =\begin{cases} 法一：洛必达\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x}-cosx}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^{x}+sinx}{1}=1 \\ 法二：xxx\lim\limits_{x \to 0} \frac{[1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})]-[x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})]-1}{\frac{1}{2} x^{2}}=1 \\ \end{cases}} }

\frac{\infty}{\infty} \begin{cases} 洛必达 \\ 抓大头（每个因式保留高阶无穷大）\\ 同除最高次幂\\ \end{cases}

{\Large 例} { { \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^{2}+x-1}+x+1}{\sqrt{x^{2}+sinx}} } } （ \frac{\infty}{\infty} ）

{\color{Red}{对于\frac{\infty}{\infty}型，等价和xxx都不行。\frac{\infty}{\infty}型首选抓大头。 } }

{\color{Red}{=\ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^{2}+x-1}+x+1}{\sqrt{x^{2}+sinx}} =\begin{cases} 法一：同除-x，\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}}-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{sinx}{x^{2}}}}=1 \\ 法二：抓大头\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}}+x}{\sqrt{x^{2}}}=1（因为x\rightarrow+\infty时分子第一项，根号内的4x^{2}远大于x和-1，x\rightarrow+\infty时分子第三项的1可忽略只保留第二项x；分母的x^{2}远大于sinx） \\ \end{cases}} }

0\cdot\infty 同除简单因式转换为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}

{\Large 例} { { \lim\limits_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{4} -arctan\frac{x}{1+x})} } （ 0\cdot\infty ）

{\color{Red}{对0\cdot\infty 同除简单因式转换为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty},本题同除简单因式x } }

{\color{Red}{\lim\limits_{x \to \infty}\frac{（\frac{\pi}{4} -arctan\frac{x}{1+x})}{\frac{1}{x}}转换为 \frac{0}{0} } }

{\color{Red}{\overset{同除}{=}\lim\limits_{x \to \infty}\frac{（\frac{\pi}{4} -arctan\frac{x}{1+x})}{\frac{1}{x}} =\begin{cases} 法一：洛必达，\lim\limits_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{1+(\frac{x}{1+x})^{2}}\cdot\frac{1+x-x}{{(1+x)}^{2}} }{-\frac{1}{x^{2}}} =\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2}+(1+x)^{2}}\overset{抓大头}{===}\frac{1}{2}\\ 法二：拉格朗日中值，f(x)=arctanx,\frac{\pi}{4} -arctanx= f(1)-f(\frac{x }{1+x} )=f{ }' (\xi)(1-\frac{x }{1+x})=\frac{1 }{1+\xi^{2} }(1-\frac{x }{1+x})且\xi介于1和\frac{x }{1+x}之间,\xi\rightarrow1\\ \lim\limits_{x \to \infty} x(\frac{\pi}{4} -arctan\frac{x}{1+x})= \lim\limits_{x \to \infty} x\frac{1 }{1+\xi^{2} }(1-\frac{x }{1+x})=\frac{1}{2}\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x }{1+x}=\frac{1}{2} \end{cases}} }

\infty-\infty \begin{cases} 通分（有分数） \\ 有理化（有根式）\\ 倒代换（x=\frac{1}{t}）\\ \end{cases} {\Large 例} { { \lim\limits_{x \to 0} [\frac{1}{ln(1+x)} - \frac{1}{sinx}]} } （ \infty-\infty ）

{\color{Red}{对于\infty-\infty型，通分（有分数）、 有理化（有根式）、 倒代换（x=\frac{1}{t}），本题通分 } }

{\color{Red}{=\lim\limits_{x \to 0}\frac{sinx-ln(1+x)}{ln(1+x)sinx} =\lim\limits_{x \to 0}\frac{sinx-ln(1+x)}{x^{2}} \overset{\frac{0}{0}}=\begin{cases} 法一：洛必达\lim\limits_{x \to 0}\frac{cosx-\frac{1}{1+x}}{2x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{-sinx+\frac{1}{(1+x)^{2}}}{1}=\frac{1}{2} \\ 法二：xxx\lim\limits_{x \to 0} \frac{[x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})]-[x-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})]}{ x^{2}}=\frac{1}{2} \\ 法三：等价\lim\limits_{x \to 0}\frac{[sinx-x]+[x-ln(1+x)]}{x^{2}} =\lim\limits_{x \to 0}\frac{[\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})]+[\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})]}{x^{2}}=\frac{1}{2} \\ \end{cases}} } {\Large 例} { { \lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})} } （ \infty-\infty ）

{\color{Red}{对于\infty-\infty型，通分（有分数）、 有理化（有根式）、 倒代换（x=\frac{1}{t}），本题有理化 } }

{\color{Red}{=\ \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{ (\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x})} \overset{\frac{\infty}{\infty}}=\begin{cases} 法一：抓大头\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2} \\ 法二：同除最高次幂\sqrt{x}，\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x}}{x}}}{\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}}+1}=\frac{1}{2}\\ \end{cases}} }

{\Large 例} { { \lim\limits_{x \to \infty} [x-x^{2}ln\left( 1+\frac{1}{x} \right) ]} } （ \infty-\infty ）

{\color{Red}{对于\infty-\infty型，通分（有分数）、 有理化（有根式）、 倒代换（x=\frac{1}{t}），本题可以倒代换 } }

{\color{Red}{ \overset{\infty-\infty}=\begin{cases} 法一：x=\frac{1}{t}倒代换 \lim\limits_{t \to 0}[\frac{1}{t}-\frac{1}{t^{2}}ln(1+t)]=\lim\limits_{x \to 0}\frac{t-ln(1+t)}{t^{2}}= \lim\limits_{t \to 0}\frac{\frac{1}{2}t^{2}}{t^{2}} =\frac{1}{2}\\ 法二：xxx\lim\limits_{x \to 0} \frac{[x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})]-[x-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})]}{ x^{2}}=\frac{1}{2} \\ 法三：等价\lim\limits_{x \to 0}\frac{[sinx-x]+[x-ln(1+x)]}{x^{2}} =\lim\limits_{x \to 0}\frac{[\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})]+[\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})]}{x^{2}}=\frac{1}{2} \\ \end{cases}} }

0^{0}或\infty^{0} 通过恒等变形\lim\limits_{x \to \Box } u^{v} =\lim\limits_{x \to \Box } e^{vlnu}=e^{\lim\limits_{x \to \Box } vlnu} ,再利用前面的 \left ( \frac{0}{0}，\frac{\infty }{\infty }，0\cdot \infty ，\infty -\infty \right ) 求解

{\Large 例} { { \lim\limits_{x \to 0^{+}} （ \frac{1}{\sqrt{x}}）^{tanx}} } （ \infty ^{0} ）

{\color{Red}{\infty^{0} 通过恒等变形\lim\limits_{x \to \Box } u^{v} =\lim\limits_{x \to \Box } e^{vlnu}=e^{\lim\limits_{x \to \Box } vlnu} } }

{\color{Red}{ e^{\lim\limits_{x \to 0^{+} } tanxln\frac{1}{\sqrt{x}}}= e^{\lim\limits_{x \to 0^{+} } -\frac{1}{2}tanxlnx} =e^{\lim\limits_{x \to 0^{+} } -\frac{1}{2}xlnx}=e^{\lim\limits_{x \to 0^{+} } -\frac{1}{2}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}} =e^{0} =1} }

1^{\infty}\begin{cases} 一、\lim\limits_{x \to \Box } （1+u）^{v}=e^{\lim\limits_{x \to \Box } vln（1+u）}\overset{ln(1+u)\sim u}{=====} e^{\lim\limits_{x \to \Box } vu}[ u\to 0,v\to \infty ] \\ 二、\lim\limits_{x \to \Box } u^{v}=\lim\limits_{x \to \Box } [1+(u-1)]^{v}=e^{\lim\limits_{x \to \Box } v（u-1）}[ u\to 1,v\to \infty ]\\ \end{cases} , 再利用前面的 \left ( \frac{0}{0}，\frac{\infty }{\infty }，0\cdot \infty ，\infty -\infty \right ) 求解

{\Large 例} { { \lim\limits_{x \to 0} （ \frac{arcsinx}{x}）^{\frac{1}{1-cosx}}} } （ 1^{\infty} ）

{\color{Red}{ 1^{\infty}\begin{cases} 一、\lim\limits_{x \to \Box } （1+u）^{v}=e^{\lim\limits_{x \to \Box } vln（1+u）}\overset{ln(1+u)\sim u}{=====} e^{\lim\limits_{x \to \Box } vu}[ u\to 0,v\to \infty ] \\ 二、\lim\limits_{x \to \Box } u^{v}=\lim\limits_{x \to \Box } [1+(u-1)]^{v}=e^{\lim\limits_{x \to \Box } v（u-1）}[ u\to 1,v\to \infty ]\\ \end{cases} 本题属于第二种情况 } }

{\color{Red}{ e^{\lim\limits_{x \to 0 } \frac{1}{1-cosx}[\frac{arcsinx-x}{x}]} =e^{\lim\limits_{x \to 0 } \frac{\frac{1}{6}x^{3}}{\frac{1}{2}x^{2}x}} =e^{\frac{1}{3}}} }

{\Large 例} { { \lim\limits_{x \to a} （ \frac{sinx}{sina}）^{\frac{1}{x-a}}} } （ 1^{\infty} ）

{\color{Red}{ e^{\lim\limits_{x \to a } \frac{1}{x-a}[\frac{sinx-sina}{sina}]} =e^{\frac{1}{sina}\lim\limits_{x \to a } \frac{sinx-sina}{x-a}}} }

{\color{Red}{求\lim\limits_{x \to a } \frac{sinx-sina}{x-a}} }

{\color{Red}{ \overset{\frac{0}{0}}=\begin{cases} 法一：洛必达\lim\limits_{x \to a} \frac{cosx}{1} =cosa\\ 法二：导数定义f{}' (x_{0} )= \lim\limits_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} =\left ( sinx \right ) {}'\mid _{x=a} =cosa\\ 法三：拉格朗日中值f(x)=sinx,sinx -sina=f{ }' (\xi)(x-a)=cos\xi(x-a)且\xi介于x和a之间,\xi\rightarrow a\\ \lim\limits_{x \to a } \frac{sinx-sina}{x-a}=\lim\limits_{\xi \to a } \frac{cos\xi\cdot(x-a)}{x-a} =cosa\\ \end{cases}} }

{\color{Red}{ {\color{Red} {e^{\frac{1}{sina}\lim\limits_{x \to a } \frac{sinx-sina}{x-a}}=e^{cota}}} } }

极限知识总结 第3篇

对应函数极限有5个常用方法 函数极限 \begin{cases} 洛必达（简单函数） \\ 等价（3组）\\ xxx公式（8个）\\ 导数定义\\ 拉格朗日中值\\ \end{cases}

{\color{Purple} {\mathbf{{\large {第一个方法：洛必达}} } }}

若同时满足 (1) \lim \limits_{x \to \Box } \frac{f(x)}{g(x)} 为 \frac{0}{0}或\frac{\infty }{\infty }；（2） f(x) 和 g(x) 均可导；（3） \lim\limits_{x \to \Box } \frac{f{}' (x)}{g{}' (x) } 存在或无穷

则 \lim \limits_{x \to \Box } \frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x \to \Box } \frac{f{}' (x)}{g{}' (x) }

{\Large 例} { { \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2 }{x^{2} } } }

{\color{Red}{={ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x} } -\frac{1}{2\sqrt{1-x} }}{2x} }} } (观察式子为 {\Large\frac{0}{0} 型 } ，运用洛必达)

{\color{Red}{={\frac{1}{4} \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1-x}-\sqrt{1+x} }{x\sqrt{1+x}\sqrt{1-x} } } } }

{\color{Red}{={\frac{1}{4} \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1-x}-\sqrt{1+x} }{x} } } } (提非零因子 \sqrt{1+x}\sqrt{1-x} ，观察式子为 {\Large\frac{0}{0} 型 } ，再次运用洛必达)

{\color{Red}{={\frac{1}{4} \lim\limits_{x \to 0} \left ( -\frac{1}{2\sqrt{1-x} } -\frac{1}{2\sqrt{1+x} } \right ) } } } (括号内等于-1)

{\color{Red}{={-\frac{1}{4} } } }

{\color{Purple} {\mathbf{{\large {第二个方法：等价}} } }}

当 x\to 0 时，三组常用等价

（1） x\sim sinx\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx

x\sim e^{x}-1

x\sim ln(x+1)

{ {{\color{Red} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{arcsinx}{x} }} }}

{\color{Red} {=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} }} (观察式子为 {\Large\frac{0}{0} 型 } ，运用洛必达)

{\color{Red}{=1} }

其余证明同理可得。

（2） \left( 1+x \right)^{\alpha}-1

a^{x} -1\sim xlna

x-ln(1+x)\sim 1-cosx\sim \frac{1}{2}x^{2}

{\color{Red} {\left( 1+x \right)^{\alpha}-1=e^{\alpha ln(1+x)}-1\sim \alpha ln(1+x)\sim \alpha x }}

{\color{Red} {a^{x} -1=e^{xlna}-1 \sim xlna}}

{\color{Red} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{x-ln(1+x)}{\frac{1}{2} x^{2} } }} {\color{Red} {=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\frac{1}{1+x} }{x}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{(1+x）^{2} }=1 }}

{\color{Red} {\lim\limits_{x \to 0}\frac{1-cosx}{\frac{1}{2} x^{2}}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1 }}

(3) x-sinx\sim arcsinx-x\sim \frac{x^{3} }{6}

tanx-x\sim x-arctanx\sim \frac{x^{3} }{3}

tanx-sinx\sim arcsinx-arctanx\sim \frac{x^{3} }{2}

{\color{Red} {=\lim\limits_{x \to 0} \frac{arcsinx-x }{\frac{1}{6}x^{3} }=\lim\limits_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } -1}{\frac{1}{2}x^{2} } =1}}

其余证明同理可得。

关于这组等价有个帮助记忆的方法，可以确定系数大小和正负。原则是同名三角函数关于 x 对称，比如 sinx 和 arcsinx 关于 x 对称， tanx 和 arctanx 也关于 x 对称。

先画个数轴，数轴单位长度为 \frac{1}{6}x^{3} 。因为 sinx ,第一步：标出 sinx 和 x ,关于点 x 对称，标出 arcsinx ；第二步：又由于 x ，在数轴正向标出 tanx ，最后关于点 x 对称，标出 arctanx 。

要想计算arcsinx-x等价 ，可以看出 arcsinx 在 x 右侧间距一个单位， arcsinx-x 系数应为正，大小为1个单位，所以arcsinx-x\sim\frac{1}{6}x^{3} ，再比如 arctanx-arcsinx ，可以看出 arctanx 在 arcsinx 左侧间距三个单位，所以 arctanx-arcsinx\sim\ -\frac{1}{2}x^{3} 。

等价代换的二个重要考点：

（1）乘除可以代换，加减不抵消时可以代换。一旦抵消二条路，第一条路：xxx；第二条路：拆项。

乘除可以代换 {\color{Red} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{sinx}{ln(1+x)} =\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x}=1}}

加减不抵消时可以代换:因为 {\color{Red} {1-cosx\sim \frac{1}{2} x^{2} }} 与 {\color{Red} {x^{2} }} 加减不抵消，所以{\color{Red} {1-cosx+x^{2}\sim \frac{3}{2} x^{2} }}

加减抵消时 {\color{Red} {ln(1+x)-sinx \sim x-x {\LARGE {\color{Red} \times } } }}

{\color{Red} {ln(1+x)-sinx \sim x-sinx\sim \frac{1}{6} x^{3} {\LARGE {\color{Red} \times } } }} ，因为 {\color{Red} {sinx }} 与 {\color{Red} {x }} 的同阶的展开式 {\color{Red} {sinx\sim x+o(x) }} 与{\color{Red} {x }} 相抵消

正确做法两条路

一、xxx

{\color{Red} {=x-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2}) -\left [ x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3}) \right ] }} {\color{Red} {=-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2}) }} {\color{Red} {\sim \frac{1}{2} x^{2} }} 因为 {\color{Red} {-\frac{1}{6}x^{3} }} 和 {\color{Red} {o(x^{3} ) }} 都是关于 {\color{Red} {x^{2} }} 的高阶无穷小，按照低阶吸收高阶原则，都被前面的 {\color{Red} {o(x^{2}) }} 吸收

二、拆项等价

{\color{Red} {=ln(1+x)-x+x-sinx\sim -\frac{1}{2} x^{2}+o(x^{2} ) +\frac{1}{6} x^{3}+o(x^{3} ) \sim -\frac{1}{2} x^{2}}} ,因为 {\color{Red} {\frac{1}{6}x^{3} }} 是关于 {\color{Red} {x^{2} }} 的高阶无穷小，按照低阶吸收高阶原则，都被前面 {\color{Red} {o(x^{2}) }} 吸收

（2） x\rightarrow0 可以推广为 \Box \rightarrow0

x\rightarrow0 时 求sinx-sin\left( sinx \right) ，因为x\rightarrow0 时， sinx\rightarrow0 ， \Box -sin\Box \sim \frac{1}{6} \Box ^{3} , sinx-sin\left( sinx \right)\sim \frac{1}{6} (sinx) ^{3} \sim \frac{1}{6} x^{3}

{\Large 例} (2008) { { \lim\limits_{x \to 0} \frac{\left( sinx-sinsinx \right)sinx}{x^{4}} } }

{\color{Red}{={ \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{6}sin^{4}x}{x^{4}} =\frac{1}{6} }} }

{\Large 例} (2000) { {\lim\limits_{x \to 0} \frac{arctanx-x}{ln\left( 1+2x^{3} \right)} } }

{\color{Red}{={ \lim\limits_{x \to 0} \frac{ -\frac{1}{3}x^{3} }{2x^{3}} =-\frac{1}{6} }} }

{\Large 例} (2007) { { \lim\limits_{x \to 0} \frac{arctanx-sinx}{x^{3}} } }

{\color{Red}{={ \lim\limits_{x \to 0} \frac{ -\frac{1}{6}x^{3} }{x^{3}} =-\frac{1}{6} }} }

{\Large 例} (2013) 当 x\rightarrow0 时， { {x-arctanx\sim cx^{k}}}

{\color{Red}{{ x-arctanx\sim\frac{1}{3}x^{3} ，c=\frac{1}{3}，k=3 }} }

{\Large 例} (2019) 当 x\rightarrow0 时， { {x-arctanx\sim cx^{k}}} 是 { {x}} 的同阶无穷小，则 k=\underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} }

{\color{Red}{{ x-tanx\sim-\frac{1}{3}x^{3} ，k=3 }} }

{\color{Purple} {\mathbf{{\large {第三个方法：xxx}} } }}

八个常见xxx展开式

（1） e^{x}= \begin{cases} 1+x+\frac{1}{2}x^{2} +o(x^{2}) \\ 1+x+\frac{1}{2}x^{2} +\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\\ \end{cases}

（2） ln(1+x)= \begin{cases} x-\frac{1}{2}x^{2} +o(x^{2}) \\ x-\frac{1}{2}x^{2} +\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\\ \end{cases}

（3） \left ( 1+x \right ) ^{\alpha } =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!} x^{2} +o(x^{2} )

特殊的 \sqrt{1+x} =1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2} +o(x^{2} )

\sqrt{1+\Box } =1+\frac{1}{2} \Box-\frac{1}{8} \Box^{2} +o(\Box^{2} )

（4） cosx=\begin{cases} 1-\frac{1}{2} x^{2}+o(x^{2} ) \\ 1-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{24} x^{4}+o(x^{4} ) \\ \end{cases}

（5） sinx=x-\frac{1}{6} x^{3} +o(x^{3} )

（6） arcsinx=x+\frac{1}{6} x^{3} +o(x^{3} )

（7） tanx=x+\frac{1}{3} x^{3} +o(x^{3} )

（8） arctanx=x-\frac{1}{3} x^{3} +o(x^{3} ) 对于xxx展开式的理解与记忆。

（I） e^{x} 的理解

e^{x} =1+x+\frac{1}{2!} x^{2} +\frac{1}{3!} x^{3}+\dots +\frac{1}{n!} x^{n}+\dots=\sum\limits_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!} x^{n} 这个公式只有记忆，等式最左端的 e^{x} 求导后仍是本身 e^{x} ，等式右侧 1+x+\frac{1}{2!} x^{2} +\frac{1}{3!} x^{3}+\dots +\frac{1}{n!} x^{n}+\dots 求导后也要是其本身。不难看出求导后 0+1+x+\frac{1}{2!} x^{2} +\frac{1}{3!} x^{3}+\dots 相当于往后退了一位，还是本身。

a^{x} 的xxx展开可以利用指对恒等式， a^{x} =e^{xlna} ,把 e^{x} 展开式中的 x 全部换成 xlna 即 a^{x} =1+(xlna)+\frac{1}{2!} (xlna)^{2} +\frac{1}{3!} (xlna)^{3}+\dots +\frac{1}{n!} (xlna)^{n}+\dots

（2） ln(1+x) 的理解

\frac{1}{1+x} 是等比级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{n} x^{n} 的和函数。 \frac{1}{1+x} =1-x+x^{2} -x^{3}+\dots +(-1)^{n}x^{n}+\dots

两边取积分 \int \frac{1}{1+x} dx=\int \left (1-x+x ^{2}-x ^{3}+x ^{4}+\dots \right )dx

ln(1+x)= x-\frac{1}{2}x ^{2} +\frac{1}{3}x ^{3}-\frac{1}{4}x ^{4}+\dots

（3） \left ( 1+x \right ) ^{\alpha } 的理解

当 \alpha为正整数时，记忆方法类似于二项式定理。 \left ( 1+x \right ) ^{n} =1+\binom{n}{1} x+\binom{n}{2} x^{2} +\binom{n}{3} x^{3} +\dots

（4） sinx 和 cosx 的理解

当 x=0时， sin0=0 , sinx 展开式第一项是 x ， sinx 是奇函数， sinx 展开式只有奇数次项。 {\left ( sinx \right )}' ={\left ( x-\frac{1}{3!} x^{3} +\frac{1}{5!} x^{5}-\frac{1}{7!} x^{7}+\dots \right ) }'

cosx =1-\frac{1}{2!} x^{2} +\frac{1}{4!} x^{4}-\frac{1}{6!} x^{6}+\dots

（5） tanx 的理解

\frac{1}{1+x^{2}} 是等比级数 \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{n} (x^{2})^{n} 的和函数。 \frac{1}{1+x^{2}} =1-x^{2}+\left ( x^{2} \right ) ^{2} -\left ( x^{2} \right ) ^{3}+\dots +(-1)^{n}\left ( x^{2} \right ) ^{n}+\dots

两边取积分 \int \frac{1}{1+x^{2}} dx=\int \left [1-x^{2}+\left ( x^{2} \right ) ^{2} -\left ( x^{2} \right ) ^{3}+\dots +(-1)^{n}\left ( x^{2} \right ) ^{n}+\dots \right ]dx

arctanx= x-\frac{1}{3}x ^{3} +\frac{1}{5}x ^{5}-\frac{1}{7}x ^{7}+\dots

(6） arcsinx 、 tanx 的理解

借助于上文的数轴图，只要记住 sinx 的xxx展开，利用几个三角函数和反三角函数的距离就能得到展开式。

sinx=x-\frac{1}{6} x^{3} +o(x^{3} ) ，arcsinx 在 sinx 右侧间距2个单位，所以 arcsinx=x+\frac{1}{6} x^{3} +o(x^{3} )；arctanx 在 sinx 左侧间距1个单位，所以 arctanx=x-\frac{1}{3} x^{3} +o(x^{3} )；tanx 在 sinx 右侧间距4个单位，所以 tanx=x+\frac{1}{3} x^{3} +o(x^{3} )

xxx公式求极限的二个注释：

（1）x\rightarrow0 可以推广为 \Box \rightarrow0

e^{x^{2}}= 1+x^{2}+\frac{1}{2}\left( x^{2} \right)^{2} +o(x^{4})

（2） 分子分母同阶原则，加减不抵消原则

{\Large 例} { {\lim\limits_{x \to 0}\frac{cosx-e^{-x^{2}} }{x^{4} } }}

{\color{Red} {\lim\limits_{x \to 0} \frac{[1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})]-[1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{8}x^{4}+o(x^{4})]}{x^{4}} =-\frac{1}{12} }} (观察到分母4次，按照分子分母同次原则，分子要展开到4次)

{\Large 例} 当 x\rightarrow0 时， {{e^{-x^{2}}-cos\sqrt{2}x\sim cx^{k}}} ,则 c=\underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } ,则 k=\underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} }

{\color{Red}{e^{-x^{2}}= 1-x^{2}+\frac{1}{2} x^{4} +o(x^{4})} }

{\color{Red}{cos\sqrt{2}x=1-\frac{1}{2} \left(\sqrt{2}x\right)^{2}+\frac{1}{24} \left(\sqrt{2}x\right)^{4}+o(x^{4} )} }

{\color{Red}{e^{-x^{2}}-cos\sqrt{2}x= \frac{1}{2} x^{4} -\frac{1}{6} x^{4} +o(x^{4})=\frac{1}{3} x^{4} +o(x^{4})} } {\color{Red}{c=\frac{1}{3} ,k=4} }

{\Large 例} 当 x\rightarrow0 时， { {f（x）=x+aln(1+x)+bxsinx\sim cx^{3}}} ,则 a=\underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } , b=\underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } , c=\underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} } \underline{{\LARGE {}} }

{\color{Red}{f（x）=x+a\left( x-\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{3} x^{3} +o(x^{3})\right)+bx\left( x-\frac{1}{6} x^{3} +o(x^{3})\right)= （1+a）x+(b-\frac{2}{a}) x^{2}+\frac{a}{3} x^{3}+o(x^{3})} }

{\color{Red}{\begin{cases} 1+a=0\\ b-\frac{a}{2} =0\\ c=\frac{a}{3} \\ \end{cases}} } {\color{Red}{\begin{cases} a=-1\\ b =-\frac{1}{2}\\ c=-\frac{1}{3} \\ \end{cases}} }

{\color{Purple} {\mathbf{{\large {第四个方法：导数定义}} } }}

{ {\large f' {(x_{0})}= \lim\limits_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} } }

{\color{Purple} {\mathbf{{\large {第五个方法：拉格朗日中值}} } }}

{\large f(b)-f(a)=f{}' (\xi)(b-a)}