数学难题总结 第1篇

关键词：xxx难题数学理性近代数学

xxx在其巨著《中国科学技术史》第三卷数学章中，提出了一个引人注目的问题：中国古代数学曾经出现过光辉灿烂的历史，并且长期居于世界前列，然而在十四世纪以后直至近代，中国数学发展缓慢，以至于没有发展成为近代数学，而在文明程度相对落后的欧洲诞生了近代数学。对于这一问题，海内外学者提出了诸多有益见解，具有代表性的有：内外因决定论、八股取士制的危害、文化选择决定论等。尽管它们在逻辑上存在许多不完备性，但几乎所有的研究者都承认，对于xxx难题的研究，参与大于求解。xxx难题已成为进行中西科学史比较研究的纽带和桥梁……xxx难题像一条极富魅力的主题词一样，成为促进东西两大文化体系之间真正了解和沟通的一个文化生长点。

在人类数学的历史发展中，原始的数字往往都与某些特定物对应着（如绳结、石块、木棍等），而且这些原始的数字往往都有着数量意义和神秘的双重文化解释功能。

在古希腊文化的发展中，原始数字具有神秘性和数量性的双重功能得到同一性继承，xxx拉斯学派的“万物皆数”把数学的神秘性与数学的数量性牢牢结合在一起，使数学的神秘性随数学的数量性运算操作共同发展。柏拉图把数学的双重功能赋予一种哲学理性的色彩，他在解释世界所遇到的困难时，提出了一个用几何图形构造世间万物的数学理性模型。正如xxx指出：数学与神学的结合开始于xxx拉斯，它代表了古希腊的、中世纪的以及直至xxx为止的近代宗教哲学的特征。

古希腊数学作为一种理性来表现自己的解释力量，追求一种超越实际应用的理性结构，既是一个处于文化系统中主导解释层次的宗教或哲学意义的理性解释系统，又是一个数量意义的数学运算操作系统。在西方文化中，任何学科都必须按照文化理性的要求去模仿和运用数学的模式。

这一切都源于古希腊哲学家最早着力于宇宙和世界本原的探索，即使对待人事也采取逻辑分析的态度，作纯粹理智的思辩。例如，古希腊数学家更注重演绎性推理。他们鄙视手工劳动和商业活动，柏拉图就宣称：“算术应该用于追求知识，而不该用于贸易。”“自由人从事商业贸易是一种堕落。”即使是对实用发明做出过巨大贡献的xxx德，真正珍爱的仍然是演绎性科学，他也认为“任何与日常生活有联系的技艺都是粗俗的”。希腊人几何发达，代数落后，他们将几何学做成高度完善的演绎公理系统，欧几里德的《几何原本》树立了用公理法建立起演绎数学体系的最xxx；而对于“代数”未能像对几何形状那样建立起严密紧致的逻辑体系。

到中世纪初期，教会禁止一切科学研究活动，宣称信仰就是一切，钝化了人们的理性思维。但随着经院哲学中维理派兴起，理性主义又获得了恢复。一方面，它引导人们从概念到概念，沉溺于玄想空谈之中，而不去关注自然，阻碍了科学的发展。另一方面，它强调推理，敏锐人们的思维，恢复了古希腊的数学理性传统，使人们相信自然界是有规律的和一致的，为近代科学发展奠定了基础。

到十六世纪，当阿拉伯人把东方文明带到欧洲时，很快吸收了东方的机械化（算法化）数学文化，与演绎数学有机结合，催生了近代科学革命，推动了西方资本主义革命，反过来又进一步促进了近代科学发展。

在中国历史上，以竹棍为表现形式的数量与神秘的运演形式，构成了中国早期数字的独特双重功能。在历史的演化中，春秋战国之后，特别是经孔子的推崇，竹棍运演解释所具有的神秘性逐渐向一种文化理性的解释形式演化，最终形成了一种独特的神秘或理性的筮法卦象的解释系统――《易经》（它对一切事物给出解释，因而使自身处于一种形而上的地位――文化系统中的主导层次的理性解释系统）。也就是说，竹棍的数量性解释意义开始与神秘性解释意义相分离，成为一种具有实践应用意义的数量性解释系统――筹算。

筹算与神秘性解释功能分离之后，就在中国文化中以具体致用对象为目标，以自身的运演及其结构形式为手段，以快速、准确解决和处理问题为结果的应用技能。中国的筹算从一开始就处于文化系统中的应用层次，是一种技艺致用的价值取向。这种文化特征与古希腊为代表的西方数学有着重大差异。

中国传统文化侧重“天人合一”，注重人与自然的和谐，过分偏重实用，相对忽视、轻视甚至反对数学的抽象思维，使我国古代数学长期停留并满足于经验的水平，缺乏理论体系的深入发展和纯思辩的兴趣爱好。中国文化以人际关系（血缘关系、社会关系）为基本的结构单元，所关注的不是精神现象学，而是社会伦理学，往往偏向道德伦理判断而缺少冷静的分析，造成伦理学过分发达和思辩哲学的过度萎缩。这就形成了以《九章算术》为代表的特有的中国机械化（算法化）数学文化传统：以算法为中心、具有较强的社会性、寓理于算，理论高度概括；注重解决实际问题，不关心数学理论的形式化；数学教育与研究往往被封建政府所控制等。

更重要的是，当西方传教士十六世纪末开始到中国活动，由于明清王朝制定天文历法的需要，传教士开始将与天文历算有关的西方初等数学知识传入中国，中国数学家在“西学中源”思想支配下，数学研究出现了一个短暂的中西融会贯通的零星局面。但在缺乏开放和创新的封建八股取士制度压制下，未能突破封闭守旧的封建文化教育体制的牢笼，没有对社会发展产生巨大冲击，无法形成社会主流，最终与机会擦肩而过，没有引发近代数学在中国诞生，更无法促进中国近代资本主义革命与西方同步发展。

可以说，中西方古代数学沿着不同的理性轨道发展。西方形成了以《几何原本》为代表的公理化（演绎化）数学文化传统，而中国形成了以《九章算术》为代表的机械化（算法化）数学文化传统。我们在评判中西方数学的发展史时，既不应唯重演绎传统，肆意贬低算法传统，也不应唯重算法传统，轻视演绎传统。本质上说，两种理性传统并无优劣之分，即使在西方近代数学诞生的过程中，也无不包含着机械化数学文化思想，而且诞生于20世纪的“吴方法”――也进一步说明数学机械化的巨大作用。

尽管数学理性在xxx难题解决过程中仅有部分作用，但更重要的是在这一研究过程中，我们发现只有两种数学理性有机结合才能发挥数学与科学、社会文化发展的相互促进作用。这启示我们在改革开放和建设数学大国、强国的过程中，数学教育必须立足于理性主义，渗透数学美，展现数学文化的强大作用，体现开放和创新精神，揭示自然界的奥妙，将现代数学思想方法应用于社会实践活动中，形成独特的中国现代数学理性，促进中国数学实现跨越式发展，提高民族科技素质，为实现民族的伟大复兴做出贡献。

参考文献：

［1］ xxx. xxx难题的数学诠释――数学文化史研究的一个尝试.自然辩证法通讯，1996，18（6）：48~52.

［2］ xxx.理性精神：xxx问题的钥匙.南京师大学报（社会科学版），1997，（1）：19~23.

数学难题总结 第2篇

【关键词】解题技巧；综合分析；把握问题实质

一、如何应对中考数学难题

纵观中考数学试题整体，其难点在于最后的压轴题，在保证各个题型的基础题拿分的情况下，最后的压分题成为了考生拉开分数及档次的关键题.总的来说，最后的考题既灵活又贴近知识点，就像一层窗户纸一样，捅破了就很容易拿分，如果在知识点上无法得到很好的分析也就没有了突破口，徘徊在试题之外是很多考生遇到的解题瓶颈.所以，数学的难题就是把知识点汇总到一起，把这些知识点分解开来问题就变得容易了.

二、中考数学难题之实战技巧

做一道题时，先按照“常规出牌”方式，就是基本的解题思路来思考，如果遇到难题，还是把题目分解开来.

如：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 cm,BC=26 cm，动点M从A开始沿AD边以1 cm/s的速度运动，动点N从点C开始沿CB边向B以3 cm/s的速度运动，M，N分别从A，C同时出发，当其中一个点到达端点时，另一点也随之停止运动，该运动时间为t s，问题为：当t分别为何值时四边形MDNB为等腰梯形？

这道题属于中度偏难的题型，学习成绩在中等水平的学生都可以解答出来.怎样分解这道题？首先，得了解什么是梯形及它的性质，能使用哪些辅助线；其次，通过已知的条件作两条高，得出两个全等的等腰三角形和一个矩形；最后，再利用矩形的对边相等解决这道题.

在做题时，学生要学会把同一类型的题归为一类，逐渐形成一套自己的解题思路，学会举一反三，这样难题就迎刃而解了.

随着新课改的实施，中考命题趋势逐步削弱了对传统数学问题的单纯考查，试题情境一般存在开放性、探索性、操作性(平移、旋转、翻折)，许多问题是以发现、猜测和探究为主线的新式题型.下面我们谈谈近几年中考的热点问题――图形变换.

图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四大变换，近年全国各地的中考数学试题出现了不少有关图形变换的试题.作为新增加的内容，图形与变换对于培养同学们空间观念、拓展几何的活动视野和研究途径，都具有其他内容无法替代的作用，因而，图形与变换在近年来的中考数学试题中占有较大的比重.

旋转问题要明确旋转的三要素：旋转中心(绕着哪个点)、旋转方向(顺时针、逆时针)、旋转角度.除此之外，还要始终把握旋转的性质：

1.对应点到旋转中心的距离相等.2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的xxx等(旋转前后两图形的对应线段、对应角分别相等).旋转问题可归结为点的旋转、线段的旋转和图形(一般为三角形)的旋转.在旋转问题中往往将陌生问题转化为我们熟知的三角形问题去解决，即要去寻找或构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形等，将题目由繁化简.

图 1例1 如图1，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1.以点A为中心，把ADE顺时针旋转90°，得ABE′，连接EE′，则EE′的长等于.

分析 此题是对勾股定理、等腰直角三角形和旋转的性质综合运用能力的考查.

旋转前后xxx等，

由ADE顺时针旋转90°后得ABE′可知，

ADE≌ABE′，即AE′=AE.

AE′E为等腰直角三角形.

AE′∶AE∶E′E=1∶1∶2，在RtADE中，由勾股定理可知AE=10，故EE′=25.

三、把握综合分析能力

数学中考试题的命题者的命题目的是考查我们初中毕业的学生对初中数学基础知识的掌握情况，试题当然都离不开初中的基础知识.所谓难题，只是笼上几层面纱，使我们不容易看到它的真面目.我们教师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱，把握它的真面目.

对难题进行分类专题复习时，应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上，并从中培养学生解题的直觉思维.应当先把难题进行分类，然后进行分类训练.在课堂上不必每题都要学生详细写出解题过程，一类题目写一两题就行了，其他只要求学生能较快地写出解题思路，回去再写出.一般可以将中考中的难题分以下几类进行专题复习：

第一类 综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题.

这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法，运用一些数学思想和方法以及一定的解题技巧来解答.

例2 在ABC中，点I是内心，直线BI，CI交AC，AB于D，E.已知ID=IE.求证：∠ABC=∠BCA，或∠A=60°.

教学点拨 本题要运用分析与综合的方法，从条件与结论两个方向去分析.从条件分析，由ID=IE及I是内心，可以推出AID和AIE是两边一对角对应相等，有两种可能：AD=AE或AD≠AE，

从这可以推得∠ADI与∠AEI的关系.从结论分析，要证明题目结论，需要找出∠ABC与∠ACB的关系，∠ADI=1[]2∠ABC+∠ACB，而∠AEI=1[]2∠ACB+∠ABC.从条件和结论两个方面分析，只要找出∠AEI与∠ADI的关系就可以证明本题.

证明 连接AI，在AID和AIE中，AD与AE的大小有两种可能情形：AD=AE，或AD≠AE.

（1）如果AD=AE，则AID≌AIE，有∠ADI=∠AEI.

而∠ADI=1[]2∠ABC+∠ACB，∠AEI=1[]2∠ACB+∠ABC.

1[]2∠ABC+∠ACB=1[]2∠ACB+∠ABC.

即∠ABC=∠ACB.

（2）如果AD≠AE，则设AD>AE，在AD上截取AE′=AE，连接IE′,则AIE′≌AIE.

∠AE′I=∠AEI,IE′=IE=ID.

IDE′为等腰三角形，

则有∠E′DI=∠DE′I.

∠AE′I+∠DE′I=180°，

∠AEI+∠AIE=180°.

1[]2∠ACB+∠ABC+1[]2∠ABC+∠ACB=180°.

∠ABC+∠ACB=120°，

∠A=180°－120°=60°.

如果AD

第二类 开放性、探索性数学难题.

无论是开放性还是探索性的数学难题，教学重点是教会学生把握问题的关键.

例3 请写出一个图像只经过二、三、四象限的二次函数的解析式.

教学点拨 二次函数的图像只经过二、三、四象限，就是不能经过第一象限，即当x>0时，y0时，y

（答案：当二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c都为负数时，必有x>0时，y

四、揣摩问题实质

中考题型再新也离不开初中的基础知识，所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识，然后，运用与之相关的基础知识，通过分析、综合、比较、联想，找到解决问题的办法.

例4 电脑CPU芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割时的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”.现为了生产某种CPU芯片，需长、宽都是1 cm的正方形小硅片若干.如果晶圆片的直径为 cm.问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由.（不计切割损耗）

教学引导 本题人人会入手做，但要按一定的顺序切割才能得到正确答案.

方法 （1）先把10个小正方形排成一排，

看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为 cm的圆内，如图中矩形ABCD.

AB=1，BC=10，

对角线AC=12+102=1+100=101

（2）在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小的正方形.

这样新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH，其长为9，高为3，对角线EG2=92+32=81+9=.

（3）同理，82+52=64+25=，所以，可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有5层.

（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个.

72+72=49+49=.

（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看作是9，每排可以是4个，但不能是5个.

42+92=16+81=.

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约 cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下1个小正方形了.

所以，10+2×9+2×8+2×7+2×4=66（个）.

评议 本题解题的关键是：①一排一排地放小正方形，②利用圆的内接矩形的对角线就是圆的直径的知识.

在难题的教学中，我们不能只把结论告诉学生，更重要的是要让学生知道解题的思维方式，我们不要急于把题目的解法告诉学生，应当引导学生自己去解题.

结语 中考数学的教学关键在于抓住解题思路，紧跟命题趋势，善于分析问题，把握问题实质.在众多难题中我们不难发现，难题的组成离不开基础知识的组合衔接，所以，掌握基础知识，善于运用基础知识达到举一反三成为解开各种难题的钥匙.很多开放性试题成为今年考试中的主流，但实质上万变不离其宗，其内在贯穿的知识点也无非是平时学生们要掌握的基本要点和技巧.同时，在平时的教学中，为学生拨开云雾，引导学生自我分析.这样，更有针对性，更有条理地分析问题，解决难题，使思路更明晰，考试更轻松.

【参考文献】

［1］xxx.初中数学――解题方法与技巧［M］.北京：北京教育出版社，2010.

［2］xxx战.中考数学难题破解策略［M］.南京：南京大学出版社.2011.

［3］左传波.动态解析中考数学压轴题［M］.上海：科学出版社，2011.

数学难题总结 第3篇

关键词：数学思想；数学教学；分数教学；学习能力

数学思想是人们通过思维活动在自己的意识中反映出的现实世界的空间形式和数量关系。教师在教学中要融入数学思想，这样才能提高学生的逻辑推理能力，提高数学成绩。

一、化隐为显，尝试转化思想

转化思想也叫化归思想，就是将一些等待解决的问题或者较为复杂的问题通过转化之后用更为容易的方法进行解决。这种数学思想对于学生解答数学难题有很大帮助。在进行分数教学的时候，教师要化隐为显、化难为易，尝试培养学生的转化思想。在教学生进行异分母加减法计算的时候，教师可以指导学生使用转化思想进行解答。教师可以给学生提出问题：“在整理房间的时候，妈妈整理出了很多的生活垃圾，其中有3/10不用的杂志报纸等纸张，有1/4不用的非金属，有3/10厨房残留下来的食物残渣，还有一些是废电池等有一定危险的垃圾，这部分垃圾的数量是3/20，请大家计算一下，纸张和非金属垃圾一共占所有垃圾中的几分之几呢？”学生很快就找到了两个关键的数据，并列出了算式：“3/10+1/4=？”但是在计算的时候学生却发生了疑问，他们发现分母是不一样的，不知道该如何计算。这个时候教师就可以给学生一定的指导：“大家仔细观察一下就会发现分母只是表面上不一样，其隐藏的信息告诉我们，它们可以变成一样的，大家知道要如何让分母变得一样吗？”学生很快便想到可以通过通分的方法让分母变得一样，这样就能化隐为显，化难为易，轻松地解决了这道难题。教师在引导学生使用转化思想学习分数问题的时候，要注意目标简化原则。也就是说在教学的过程中要将复杂的问题慢慢剥离开，让学生观察到其核心，然后从较为简单或者是熟悉的角度入手，解决问题，从而提高自己的学习能力。

二、反思体会，学会类比思想

类比思想指的是将若干不同的数学对象放在一起进行对比，并在其中找到相似之处，从而做出一些推论，这也是数学思想中的一个重要的组成部分。在进行分数教学的时候，教师要选择一些具有可比性的例子，让学生进行对比，在反思和体会中尝试找到其中的共性问题，并尝试解决分数难题。教师可以将分数的不同表现形式用类似的应用题展现出来，然后让学生将这些题目放在一起进行比较，在类比中找到规律，从而在解答其他类似的应用题时，能够迎刃而解。例如，教师可以给学生出示下面这样的对比题“一个建筑队造一幢房子，前5个月建造了3层，后5个月建造了4层，还剩下50%没有建造，问他们要建造的大楼一共有多少层？”“一个建筑队造一幢房子，前5个月建造了3层，后5个月建造了4层，还剩下1/2没有建造，问他们要建造的大楼一共有多少层？”在对比之后，学生可以发现原来“50%”和“1/2”所表达的概念是一样的，也就是说在解题的时候学生可以将分数和百分数进行转化，转化成自己熟悉的类型，这样可以更方便解题。除了百分数和分数之间的转化以外，教师还可以设置和超市有关的应用题，加入“打折”的概念，让学生在类比之后明白折扣和百分数、分数之间也是可以进行转换的。运用类比能够促进学生进行反思，在体会中更好地感悟分数的概念。在解答分数类应用题的时候如果能够运用类比思想，学生就可以将各种分数不同的表现形式放在一起进行比较，然后总结出这些表现形式的列式方法，这对于学生进一步提高自己的解题速度是很有帮助的。

三、解决问题，应用归纳思想

归纳推理的能力对于数学来说自然也是十分重要的。在进行分数教学的时候，教师可以向学生提出一系列的问题，让学生尝试解决这些问题，并尝试从这些问题中归纳推理出一些结论。这样有助于学生灵活解决各种数学问题，在遇到难题的时候可以根据自己归纳得出的结论来做出相应的推理。教师可以组织学生参加快速抢答的问题，在抢答的过程中尝试解决问题，向学生提出：“如果有一盒粉笔，平均分给2个同学，那么每一个同学拿到粉笔的数量是多少？”学生只能用半盒来形容，这时候教师可以引入1/2的概念。而后教师可以继续向学生提出问题：“如果现在一共有6支粉笔，平均分给2个学生，那么一个学生能够分到多少粉笔？”学生回答是3支粉笔，也就是所有粉笔中的1/2。教师再次提问：“如果现在再加入2支粉笔，平均分给2个学生，还能够说一个人分到了3支粉笔吗？”学生回答不能。教师追问：“那么还能说每一个人分到了1/2吗？”学生回答说还可以。教师此时可以让学生尝试归纳，说说分数的概念意味着什么。在这样的总结和归纳中，学生总结出了分数的概念，很好地在解决问题的过程中运用了归纳思想。

四、结束语

xxx在谈到数学思想的时候，提到数学思想其实是在教师教学的过程中对数学知识所进行的一种认识。让学生用数学思想思考数学问题，必然可以有效地激发学生对数学的兴趣，同时有助于学生构建良好的数学知识系统。总之，数学思想对于提高学生的数学学习成绩有着至关重要的作用。

参考文献：