导数与微分总结 第1篇

注：在多元函数中，可导（偏导）不一定可微，可导（偏导）也不一定连续

根据可导定义，令

\lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A \\

\lim\limits_ {\Delta x \to 0}\frac{\Delta y - A\Delta x}{\Delta x} = 0 \\

即有\Delta y - A\Delta x = o(\Delta x)，故\Delta y = A\Delta + o(\Delta x)，其中A为常数，满足可微的定义，因此，可导必可微。

根据可微定义

\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x) \\

f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{A \Delta x + o(\Delta x)}{\Delta x} = A \\

导数存在，故满足可导的定义，因此可微必可导，且f'(x) = A.

导数f'(x_0)在几何上表示曲线y = f(x)在点(x_0, f(x_0))处切线的斜率。

注：法线的斜率是切线斜率的负倒数。

高数书相关变化率（p108页例题10，习题2-4 的10 、11、 12）

设x = x(t)及y = y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而他们的变化率\dfrac{dx}{dt}与\dfrac{dy}{dt}之间也存在一定关系，这样两个相互依赖的变化率成为相关变化率

已知动点P在曲线y = x^3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l。若点P的横坐标对时间的变化率为常数v_0，则当点P运动到点(1, 1)时，l对时间的变化率是___.

已知\dfrac{dx}{dv} = v_0，l = \sqrt{x^2 + x^6}，则

\frac{dl}{dt} = \frac{dl}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{2x + 6x^5}{2\sqrt{x^2 + x^6}} \cdot v_0 \\

带入数值x = 1，则

\frac{dl}{dt} = \frac{1 + 3}{\sqrt{2}}v_0 = 2\sqrt{2} v_0 \\

导数与微分总结 第2篇

洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是一种求解极限问题的方法，尤其适用于在计算极限时出现的_0/0_或_∞/∞_这类不定型的情况。洛必达法则的主要思想是：在一些情况下，可以通过计算函数的导数来求解这类不定型的极限。

洛必达法则适用于以下两种不定型的极限：

_0/0_型极限：当我们试图计算 lim (x→c) [f(x) / g(x)] 时，如果 lim (x→c) f(x) = 0 且 lim (x→c) g(x) = 0，我们可以尝试使用洛必达法则。

_∞/∞_型极限：当我们试图计算 lim (x→c) [f(x) / g(x)] 时，如果 lim (x→c) f(x) = ±∞ 且 lim (x→c) g(x) = ±∞，我们可以尝试使用洛必达法则。

洛必达法则的基本形式如下：

如果 lim (x→c) [f'(x) / g'(x)] 存在或等于 ±∞，那么：

lim (x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) [f'(x) / g'(x)]

这里，f'(x) 和 g'(x) 分别表示 f(x) 和 g(x) 的导数。请注意，在应用洛必达法则之前，需要确保 f(x) 和 g(x) 在点 c 的某个邻域内可导。

让我们通过一个例子来说明洛必达法则的应用：

问题：计算极限：

lim (x→0) [(1 - cos(x)) / x^2]

解：首先，我们注意到在 x = 0 时，这个极限的形式是 _0/0_。因此，我们可以尝试使用洛必达法则。首先计算 f(x) = 1 - cos(x) 和 g(x) = x^2 的导数：

f'(x) = sin(x)

g'(x) = 2x

现在我们计算新的极限：

lim (x→0) [sin(x) / (2x)]

我们发现这个新的极限仍然是 _0/0_ 形式。因此，我们可以再次使用洛必达法则，计算 f'(x) 和 g'(x) 的导数：

f''(x) = cos(x)

g''(x) = 2

现在我们计算新的极限：

lim (x→0) [cos(x) / 2]

这个极限可以直接求得，因为 cos(0) = 1：

lim (x→0) [cos(x) / 2] = 1/2

因此，原极限的值为：

lim (x→0) [(1 - cos(x)) / x^2] = 1/2

导数与微分总结 第3篇

含义：一般地，函数y = f(x)的n阶导数为y^{(n)} = [f^{(n - 1)}(x)]'，也可记为f^{(n)}(x)或\dfrac{d^ny}{dx^n}，即n阶导数就是n-1阶导函数的导数。

注：如果函数在点x处n阶可导，则在点x的某邻域内f(x)必定具有一切低于n阶的导数。

(\sin x)^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{} (cos x)^{(n)} = \cos (x + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{} (u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} \tag{} (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)} \tag{}

式可类比n阶二项式公式

(u + v)^{n} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{k}v^{n-k} \tag{}

若y= \sin(ax + b)，则

y^{(n)} = a^n \sin(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}) \tag{}

通过归纳法，求y'和y''，推出y^{(n)}.

导数与微分总结 第4篇

高阶导数是指对函数进行多次求导的过程。在微积分中，我们首先学习了一阶导数，它表示了函数在某一点处的切线斜率。然而，有时我们需要了解函数在某点处的曲率、加速度等性质，这就需要高阶导数的概念。

我们可以简单地将高阶导数理解为对导数的导数。以二阶导数为例，它是函数的一阶导数的导数。如果我们将函数表示为 f(x)，那么二阶导数可以表示为 f''(x) 或 d^2f(x)/dx^2。同样地，三阶导数是二阶导数的导数，以此类推。

通俗易懂地说，高阶导数反映了函数的一些更深入的性质：

总之，高阶导数提供了关于函数性质的更多信息，比如曲率、弯曲程度等。虽然高阶导数在实际问题中的应用可能不如一阶导数常见，但它们在某些特定情况下仍然具有重要意义。

导数与微分总结 第5篇

(C)' = 0 \tag{} (x^a)' = ax^{a-1} \tag{} (a^x)' = a^x\ln(a) \tag{} (e^x)' = e^x \tag{} (\log_a^x)' = \frac{1}{x\ln(a)} \tag{} (\ln \mid x \mid )' = \frac{1}{x} \tag{} (\sin x)' = \cos(x) \tag{} (\cos x)' = -\sin(x) \tag{} (\tan x )' = \sec^2(x) \tag{} (\cot x)' = - \csc^2(x) \tag{} (\sec x)' = \sec (x) \tan (x) \tag{} (\csc x)' = \csc^2(x) \cot (x) \tag{} (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{} (\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{} (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \tag{} (arccot x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \tag{}

注：\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}，\csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}

设u = u(x), v = v(x)在x处可导，则

(u \pm v)' = u' \pm v' \tag{} (uv)' = u'v + uv' \tag{} (\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \tag{}

设u = \varphi(x)在x处可导，y = f(u)在对应点可导，则复合函数y = f[\varphi(x)]在x处可导，则

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u)\varphi'(x) \tag{}

一个可导的奇（偶）函数，求一次导，其奇偶性发生一次变化

奇函数的导函数是偶函数。偶函数的导函数是奇函数

f(x)满足f(-x) = -f(x),又根据复合函数求导法则，得到f'(-x) = -f'(x)，则

[f(-x)]' = -[-f(x)]' = [f(x)]' \\

即f'(x)为偶函数

f(x)满足f(-x) = f(x),又根据复合函数求导法则，得到f'(-x) = -f'(x)，则

[f(-x)]' = -[f(x)]' \\

即f'(x)为奇函数

设y = y(x)是由方程F(x, y) = x所确定的可导函数，为求得y'，可在方程F(x, y) = 0两边对x求导，可得到一个含有y'的方程，从中解出y'即可。

注：y'也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式得到。

\frac{dy}{dx} = - \frac{F'_x}{F'_y} \tag{}

若y = f(x)在某区间内可导，且f'(x) \ne 0，则其反函数x = \varphi (x)在对应区间内也可导，且

\varphi (y) = \frac{1}{f'(x)} \tag{}

\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \\

设y = y(x)是由参数方程

{\left\{ \begin{aligned} &x = \varphi (x)\\ &y = \psi (x)\\ \end{aligned}\right. }, (\alpha < t < \beta) \\

确定的函数，则

\frac{dy}{dx} = \frac{\psi(x)}{\varphi(x)} \tag{}

\frac{d^2 y}{d^2 x} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}= \frac{d}{dt}(\frac{\psi '(t)}{\varphi '(t)}) \cdot \frac{1}{\varphi '(x)} = \frac{\psi ''(t)\varphi '(x) - \varphi ''(x) \psi '(t)}{\varphi^3 (t)} \tag{}

极坐标性质

{\left\{ \begin{aligned} \rho^2 &= x^2 + y^2\\ \tan \theta &= \frac{y}{x} (x \ne 0)\\ \end{aligned}\right.} \tag{}

极坐标转化为直角坐标的转化公式

{\left\{ \begin{aligned} x = \rho \sin \theta\\ y = \rho \cos \theta\\ \end{aligned}\right.} \tag{}

已知经过点M(\rho_o, \theta_0)，且直线与极轴所成角为\alpha的直线l，其极坐标方程为

\rho \sin (\alpha - \theta) = \rho_0 \sin(\alpha_0 - \theta_0) \\

\rho = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \\

转化为参数方程形式

{\left\{ \begin{aligned} x = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \sin(\theta)\\ y = \rho_0 \sec(\alpha_0 - \theta_0) \cos(\theta)\\ \end{aligned} \right.} \\

如果y = y(x)的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数去对数，然后两边对x求导。

注：对等式两边取对数，需要满足等式两边都大于0的条件

导数与微分总结 第6篇

常数函数：对于任意常数 c，其导数为零。

d/dx (c) = 0

幂函数：对于实数 n，x^n 的导数为：

d/dx (x^n) = nx^(n-1)

指数函数：对于正实数 a，a^x 的导数为：

d/dx (a^x) = a^x * ln(a)

特别地，当 a = e（自然常数）时：

d/dx (e^x) = e^x

对数函数：对于正实数 a，log_a(x) 的导数为：

d/dx (log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))

特别地，当 a = e 时，即自然对数函数 ln(x)：

d/dx (ln(x)) = 1/x

三角函数：

d/dx (sin(x)) = cos(x)

d/dx (cos(x)) = -sin(x)

d/dx (tan(x)) = sec^2(x) = 1 / cos^2(x)

d/dx (cot(x)) = -csc^2(x) = -1 / sin^2(x)

d/dx (sec(x)) = sec(x) * tan(x)

d/dx (csc(x)) = -csc(x) * cot(x)

反三角函数：

d/dx (arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)

d/dx (arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)

d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)

d/dx (arccot(x)) = -1 / (1 + x^2)

d/dx (arcsec(x)) = 1 / (|x| * sqrt(x^2 - 1))

d/dx (arccsc(x)) = -1 / (|x| * sqrt(x^2 - 1))

导数与微分总结 第7篇

当我们处理隐函数和参数方程时，求导的方法与显式函数略有不同。接下来我们将分别讨论这两种情况的求导方法。

隐函数是指函数关系中，自变量和因变量之间的关系不是显式地表示出来的形式。例如，一个隐函数可以表示为 F(x, y) = 0。为了求隐函数的导数，我们需要使用隐函数微分法（Implicit Differentiation）。

隐函数微分法的基本思路是对隐函数的两边同时求导，然后解出需要的导数。以下是隐函数求导的步骤：

例如，求隐函数 x^2 + y^2 = 1 的导数：

参数方程是指自变量和因变量都是另一个变量（通常表示为参数 t）的函数。例如，x = f(t) 和 y = g(t)。为了求参数方程的导数，我们可以使用以下方法：

例如，求参数方程 x = cos(t)，y = sin(t) 的导数：

总之，在处理隐函数和参数方程的求导问题时，我们需要使用特定的方法，如隐函数微分法和参数方程的求导法。通过这些方法，我们可以得到隐函数和参数方程的导数。