高一数学向量知识点总结 第1篇

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3)函数图形都是下凹的。

(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能xxx于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

(7)函数总是通过(0，1)这点。

(8)显然指数函数无界。

奇偶性

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且xxx于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不xxx于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。

(6)显然幂函数无界。

定义：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

范围：

倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。

理解：

(1)注意“两个方向”：直线向上的方向、x轴的正方向;

(2)规定当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0度。

意义：

①直线的倾斜角，体现了直线对x轴正向的倾斜程度;

②在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角;

③倾斜角相同，未必表示同一条直线。

公式：

k=tanα

k>0时α∈(0°，90°)

k<0时α∈(90°，180°)

k=0时α=0°

当α=90°时k不存在

ax+by+c=0(a≠0)倾斜角为A，

则tanA=-a/b，

A=arctan(-a/b)

当a≠0时，

倾斜角为90度，即与X轴垂直

高一数学向量知识点总结 第2篇

四心向量式

ps：没错，很全，记忆得话就想象成向量带一个屁股

例设H是\triangle ABC的垂心，且3\vec{HA}+4\vec{HB}+5\vec{HC}=\vec{0},则cos\angle BHC的值为

解：由垂心性质可得\vec{HA}\cdot\vec{HB}=\vec{HB}\cdot\vec{HC}=\vec{HC}\cdot\vec{HA}，\\不妨设\vec{HA}\cdot\vec{HB}=\vec{HB}\cdot\vec{HC}=\vec{HC}\cdot\vec{HA}=x\\有3\vec{HA}+4\vec{HB}+5\vec{HC}=\vec{0}\\所以3\vec{HA}\cdot\vec{HB}+4\vec{HB}^2+5\vec{HB}\cdot\vec{HC}=0\\|\vec{HB}|=\sqrt{-2x},同理可得|\vec{HC}|=\sqrt{-\frac{7x}{5}}\\所以cos\angle BHC=\frac{\vec{HB}\cdot\vec{HC}}{|\vec{HB}||\vec{HC|}}=-\frac{\sqrt{70}}{14}

习题已知\triangle ABC外接圆的圆心为O，且\angle A=\frac{\pi}{3}，若\vec{AO}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC},则实数\alpha+\beta的最大值为

例\triangle ABC中P满足\vec{PA}+2\vec{PB}+3\vec{PC}=\vec{0},则在\triangle ABC内洒黄豆，落在\triangle PBC的概率为

解：由奔驰定理可得S_{A}：S_B:S_C=1:2:3\\于是\frac{S_A}{S_总}=\frac{1}{6}

ps：水题一道

例是\triangle ABC所在平面内一点，动点P满足\vec{OP}=\vec{OA}+\lambda(\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|sinB}+\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|sinC})(\lambda\in(0,+\infty)),\\则动点P一定通过\triangle ABC的

解：作AD\bot BC，由于|\vec{AB}|sinB=|\vec{AC}|sinC=AD，所以\\\vec{OA}+\lambda(\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|sinB}+\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|sinC})=\vec{OA}+\frac{\lambda}{|AD|}(\vec{AB}+\vec{AC}),\\由向量加法法则可知P一定在三角形中线上，所以经过重心

ps：此外还有很多关于三心的题目各位大佬可自行寻找

高一数学向量知识点总结 第3篇

例已知|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|\vec{e}|=1,且\vec{a}\cdot\vec b-(\vec a+\vec b)\cdot \vec e+3=0,则 \vec a \cdot \vec b的取值范围是

解：(\vec a+\vec b-\vec e)^2=\vec a^2+\vec b^2+\vec e^2+2\vec a\cdot\vec b-2\vec a\cdot\vec e-2\vec b\cdot \vec e\\则\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec e-\vec b\cdot \vec e=\frac{(\vec a+\vec b-\vec e)^2-14}{2},由题意可得\\\frac{(\vec a+\vec b-\vec e)^2-14}{2}+3=0,则(\vec a+\vec b-\vec e)=8，|\vec a+\vec b-\vec e|\\=2\sqrt{2},由绝对值三角不xxx式可得|\vec a+\vec b|-|\vec{e}|\leq|\vec a+\vec b-\vec e|\leq|\vec a+\vec b|+|\vec{e}|\\因此2\sqrt{2}-1\leq|\vec a+\vec b|\leq2\sqrt{2}+1，从而9-4\sqrt{2}\leq13+2\vec a\cdot\vec b\leq9+4\sqrt{2}\\故\vec a\cdot\vec b\in[-2\sqrt{2}-2,2\sqrt{2-2}]

例设圆O，圆O_{1}半径都为1，且相外切，其切点为P，\\点A，B分别在圆O，圆O_{1}上，且\vec{PA}\cdot\vec{PB}的最大值为

解：平移到如图所示

因此\vec{PA}\cdot\vec {PB}=\vec{PA}\cdot\vec {B_{1}P}=(\vec{OA}-\vec{OP})(\vec{OP}-\vec{OB_{1}})\\=\vec{OA}\cdot\vec {OP}-\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}-\vec{OP}^2+\vec{OP}\cdot\vec {OB_{1}}\\=-\vec{OA}\cdot\vec {OP}-\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}+\vec{OP}\cdot\vec {OB_{1}}-1

三数平方(\vec{OA}+\vec{OB_{1}}-\vec{OP})^2=\vec{OA}^2+\vec{OB_{1}}^2+\vec{OP}^2+2(-\vec{OA}\cdot\vec {OP}+\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}-\vec{OP}\cdot\vec {OB_{1}})\\于是-\vec{OA}\cdot\vec {OP}+\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}-\vec{OP}\cdot\vec {OB_{1}}=\frac{（\vec{OA}+\vec{OB_{1}}-\vec{OP}）^2-3}{2}\\因此-\vec{OA}\cdot\vec {OP}+\vec{OA}\cdot\vec {OB_1}-\vec{PA}\cdot\vec {B_{1}P}=\frac{3-（\vec{OA}+\vec{OB_{1}}-\vec{OP}）^2}{2}-1\leq\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\\当\vec{OA}+\vec{OB_1}-\vec{OP}=\vec 0时取得xxx号

习题圆O是半径为1的圆，\vec{OA}=\frac{1}{2},设B，C为圆上任意两点，则\vec{AC}\cdot\vec{BC}的取值范围是

（答案为 [-\frac{1}{8},3] ）

习题若向量\vec{a},\vec{b},\vec{c},满足|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2,则(\vec{c}-\vec{a})(\vec{c}-\vec{b})的取值范围是

（答案为 [-\frac{1}{2},12] ）

高一数学向量知识点总结 第4篇

向量公式：

1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|

(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j

|向量OP|=根号（x平方+y平方）

(x1,y1)P2(x2,y2)

那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝

|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝

向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2

Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|

(x1x2+y1y2)

=————————————————————

根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）

5.空间向量：同上推论

（提示：向量a=｛x,y,z｝）

6.充要条件：

如果向量a⊥向量b

那么向量a*向量b=0

如果向量a//向量b

那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|

或者x1/x2=y1/y2

7.|向量a±向量b|平方

=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b

=(向量a±向量b)平方

数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；

当λ＜0时，λa与a反方向；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

高一数学向量知识点总结 第5篇

向量：既有大小，又有方向的量.

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为的向量.

单位向量：长度xxx于个单位的向量.

相xxx向量：长度相xxx且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相xxx，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ >0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

的几何意义：数量积xxx于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积xxx于它们对应坐标的乘积的和。

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高一数学向量知识点总结 第6篇

例在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，\\若\vec AP=\lambda\vec{AB}+\mu{\vec AD}则\lambda+\mu的最大值为

解：根据xxx和线可知当 \lambda+\mu 最大时，其xxx和弦在圆的另一端且与其相切，即可快速找出P点位置，如图

在根据比例即可算出 \lambda+\mu=\frac{A到xxx和线所在的距离}{A到BD的距离} ，故最大值为3

（原被改放为）例已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，动点M、N分别在射线CB，\\CD上运动，且满足\frac{1}{CM^2}+\frac{1}{CN^2}=1对角线AC交MN于点P,\\设\vec{AP}=x\vec{AB}+y\vec{AD},则x+y的最大值是

解：由\frac{1}{CM^2}+\frac{1}{CN^2}=1,可知CM^{2}+CN^{2}=CM^{2}\cdot CN^{2}\\即|MN|=|CM|\cdot|CN|，2S_{\triangle MCN}=|CM||CN|=|MN|d，则点C到MN\\的距离为1，则|CP|\geq1，故|AP|\leq4，则由xxx和线可知x+y=\frac{|AP|}{|AE|}=\\\frac{|AP|}{}\leq\frac{8}{5}

习题已知点G为\triangle ABC的重心，过G点作直线与AB，AC两边交于M，N两点\\且\vec{AM}=x\vec{AB},\vec{AN}=y\vec AC,D为边AB的中点，求\frac{1}{x} +\frac{1}{y}的值

ps：此外还有xxx差线，xxx积线，xxx商线如感兴趣可自行查找

高一数学向量知识点总结 第7篇

函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的函数C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.高中数学函数区间的概念

(1)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法则f，使对于函数A中的任意一个元素x，在函数B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从函数A到函数B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)B(象)”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)函数A中的每一个元素，在函数B中都有象，并且象是的;

(2)函数A中不同的元素，在函数B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求函数B中的每一个元素在函数A中都有原象。

6.高中数学函数之分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

高一数学向量知识点总结 第8篇

高二数学平面向量知识点总结

平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中叫也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量。高二数学平面向量知识点总结，我们来看看下文。

1．有向线段的定义

线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的xxx像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：.

2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度.

3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和xxx

(2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示.

4.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||.

5．相xxx向量：如果两个向量和的方向相同且长度相xxx，则称和相xxx，记作：=.

6．相反向量：与向量xxx长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-.

7．向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量平行于向量，记作//.规定： //.

8．零向量：长度xxx于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量.

9．单位向量：长度xxx于1的向量叫做单位向量.

10．向量的加法运算：

(1)向量加法的三角形法则

11．向量的减法运算

12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系

对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||.

13．数乘向量的定义：

实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作.

向量的长度与方向规定为：(1)||=|

(2)当0时，与方向相同;当0时，与方向相反.

(3)当=0时，当=时，=.

14．数乘向量的运算律：(1))= (结合律)

(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)

15．平行向量基本定理

如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.

如果与不共线，若m=n，则m=n=0.

16．非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的.单位向量，通常记作.

=||，即==(，)

17．线段中点的向量表达式

点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+).

18．平面向量的直角坐标运算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，则

+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).

19．利用两点表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).

20.两向量相xxx和平行的条件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，则

=a1=b1且a2=b2.

//a1b2-a2b1=0.特别地，如果b10，b20，则// =.

21．向量的长度公式：若=(a1，a2)，则||=.

22．平面上两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.

23．中点公式

若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= .

24．重心公式

在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心为G(x，y)，则

x=，y=

25．（1)两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p.

当=0时，与同向;当=p时，与反向

当= 时，与垂直，记作.

(3)向量的内积定义：=||||cos.

其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.

(4)内积的几何意义

与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在 方向上的正射影数量的乘积

当0，90时，0;=90时，

90时，0.

26．向量内积的运算律：

(1)交换率

(2)数乘结合律

(3)分配律

(4)不满足组合律

27．向量内积满足乘法公式

29．向量内积的应用：

高一数学向量知识点总结 第9篇

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱xxx。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全xxx多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相xxx;平行于底面的截面是与底面全xxx的多边形。

(2)棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥xxx

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比xxx于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台xxx

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全xxx的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一xxx的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离xxx于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

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高一数学向量知识点总结 第10篇

向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的.夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。

向量的数量积的运算律

ab=ba（交换律）；

(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)c=ac+bc（分配律）；

向量的数量积的性质

aa=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

|ab|≤|a||b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc)；例如：(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

3、|ab|≠|a||b|

4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

高一数学向量知识点总结 第11篇

高中数学平面向量知识点归纳和测试题

必修四 第二章平面向量

1.在△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?2DC，则AD?（ ） A．

21b?c 33

B．c?

32b 3

21b?c 33

D．b?

32c 3

2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则BD?（ ） A． （－2，－4）

B．（－3，－5） C．（3，5）

D．（2，4）

3设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则

AD?BE?CF与BC( )

A.反向平行

.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

4.关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：

，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3． ①若ab=ac，则b?c．②若a?(1

③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

?的值为() 5.若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段PP12所成的比

A －

B －

1 5

1 5

1 3

( )

D．2

( )

→→→

6．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则a＋b＋c的模xxx于

A．0

B．22

7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a・b＝－12，则向量a在向量b上的投影xxx于

A．－4

B．4

125

( )

8．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则cxxx于

13A．－＋22

13－b 22

－b 22

31D．－a

( )

9．与向量a＝(13)的夹角为30°的单位向量是

A．(，或(1，3)

B．(

) C．(0,1) 22

D．(0,1)或

3122( )

10．设向量a＝(1,0)，b＝()，则下列结论中正确的是

A．|a|＝|b|

B．a・b＝

C．a－b与b垂直 D．a∥b

11．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物

现加上一个力f4，则f4xxx于 A．(－1，－2)

( ) D．(1,2)

B．(1，－2) C．(－1,2)

12.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则c的最大值( )

D.

b?a・b＝ . 13.若向量a、b满足a?b?1,a与b的夹角为120°，则a・

14.如图，平面内有三个向量OA、、,其中OA与的夹角为120°，OA与的夹角为30°,且|OA|＝||＝1，||＝2，若＝λOA+μλ，μ∈R）,则λ+μ的值为.

?aa?

c=a-bab?0a??b，则向量a与c的夹角为（ ） 15．若向量与不共线，，且

ab??

A．0

π 3

π 2

16．若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=（ ）

，?2) A．(?1，?2) B．(1，2) C．(?1，2) D．(1

3)，a在b

上的投影为17．设a?(4，

，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为（ ） 2

C．??2?

14) A．(2，

B．?2，?

?2?? 7???2?7?

8) D．(2，

18．设两个向量a?(??2，?2?cos2?)和b??m?sin??，其中?，m，?为实数．若a?2b，则

8] 的取值范围是（ ） A．[-6，1] B．[4，

C．（-6，1] D．[-1，6]

19．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若

????

AB?2i?j,AC?3i?kj，则k的可能值个数是（）

A．1 B．2 C．3

D．4

20．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC的形状为

A．xxx腰非直角三角形 C．直角非xxx腰三角形

B．xxx边三角形

( )

D．xxx腰直角三角形

( )

21．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的`取值范围是

，＋∞? A.??3?

? B.??3?

－∞， C.?3?

－∞， D.?3?

22．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

23．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a・b＝________. 24．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________． 25．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b与a－kb垂直，则k＝（ ） （A） ?1?2（B）

2?1（C） 2?3（D） 3?2

课堂小测

1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点

F．若AC?a，BD?b，则AF?（ ）

11a?b 42

a?b 33

a?b 24

D．a?

32b 3

2.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB?0，则OC?（ ） A．2OA?OB

B．?OA?2OB

OA?OB 33

D．?OA?

OB 3

?xπ??π?

?2?平移，则平移后所得图象的解析式为（） 3．将y?2cos???的图象按向量a????36??4??xπ??xπ?

A．y?2cos????2 B．y?2cos????2

?34??34??xπ?

C．y?2cos????2

?312?

?xπ?

D．y?2cos????2

?312?

CD?4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，

CA??CB，则??（ ） 3

2 3

1 3

C．?

1 3

D．?

2 3

5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)・c＝30，则xxxx于

A．6

( )

B．5 C．4 D．3

6．已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．

(1)若|c|＝25，且c∥a，求c； (2)若|b|＝

7．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时：

(1)c∥d；(2)c⊥d.

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →→→

(2)设实数t满足(AB－tOC)・OC＝0，求t的值．

，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角． 2

→→→→→→→→→

9．已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.

求证：△P1P2P3是正三角形．

10．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：

(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.

解7 由题意得a・b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.

(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k5

(2)当c⊥d时，c・d＝0，则(5a＋3b)・(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a・b＝0，∴k＝－.

14→→→→→→

解8 (1)AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB＋AC|与|AB－AC|的大小． →→→→→→→→

由AB＋AC＝(2,6)，得|AB＋AC|＝210， 由AB－AC＝(4,4)，得|AB－AC|＝42. →→→→→→→(2)OC＝(－2，－1)， ∵(AB－tOC)・OC＝AB・OC－tOC2， 11→→→→→→易求AB・OC＝－11，OC2＝5， ∴由(AB－tOC)・OC＝0得t＝－.

→→→→→→→→→

证明9 ∵OP1＋OP2＋OP3＝0，∴OP1＋OP2＝－OP3，∴(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，

1OP・OP1→2→2→→→2→→

∴|OP1|＋|OP2|＋2OP1・OP2＝|OP3|， ∴OP1・OP2＝－，cos∠P1OP2＝，

22→→

|OP1|・|OP2|→→→

∴∠P1OP2＝120°.∴|P1P2|＝|OP2－OP1|＝

?OP2－OP1?2＝

→→→→OP12＋OP22－2OP1・OP2＝3.

同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝故△P1P2P3是xxx边三角形．

证明10 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． →→→

(1)BE＝OE－OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， →→→

CF＝OF－OC＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， →→∵BE・CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， →→

∴BE⊥CF，即BE⊥CF.

(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，

→→→→

∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2. 686868→→→→

. ∴AP2＝??2＋??2＝4＝AB2，∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB. 解得x＝，∴y＝，即P??55?5??5?55

高一数学向量知识点总结 第12篇

什么是向量

在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。

向量垂直公式

a,b是两个向量

a=(a1,a2) b=(b1,b2)

a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数

a垂直b：a1b1+a2b2=0

证明：

①几何角度：

向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1²+y1²)

向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2²+y2²)

(x1,y1)到(x2,y2)的距离：D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

两个向量垂直,根据勾股定理：L1² + L2² = D²

∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²

∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2

∴ x1x2 + y1y2 = 0

②扩展到三维角度：

x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,

那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直

综述，对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0 成立。

平面向量加法公式

已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC

即有：AB+BC=AC。

用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。

这就是说，两个向量和与差的坐标分别xxx于这两个向量相应坐标的和与差

三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，xxx为：首尾相连、连接首尾、指向终点。

四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，xxx为：共起点 对角连。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。

平面向量减法公式

AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则

xxx为：共起点、连中点、指被减。

-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

平面向量数乘公式

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。

当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，

当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，

当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)

设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：

(λμ)a= λ(μa)

(λ + μ)a= λa+ μa

λ(a±b) = λa± λb

(-λ)a=-(λa) = λ(-a)

|λa|=|λ||a|

平面向量数量积公式

已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。

零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积xxx于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

高一数学向量知识点总结 第13篇

圆的方程定义：

圆的标准方程(x—a)2+(y—b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：

1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的`方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

①Δ>0，直线和圆相交、②Δ=0，直线和圆相切、③Δ<0，直线和圆相离。

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。

①dR，直线和圆相离、

2、直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程、求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

3、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

切线的性质

⑴圆心到切线的距离xxx于圆的半径;

⑵过切点的半径垂直于切线;

⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点;

⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心;

当一条直线满足

(1)过圆心;

(2)过切点;

(3)垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。

切线的判定定理

经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线长定理

从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相xxx，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。

高一数学向量知识点总结 第14篇

ps：我摊牌了，它既适用于平面也适用于空间!

平面

例6 .1平面向量\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}满足|\vec{a}-\vec{b}|=2，|\vec{b}-\vec{c}|=3，|\vec{c}-\vec{d}|=4，\\|\vec{d}-\vec{a}|=5，则(\vec{a}-\vec{c})(\vec{b}-\vec{d})=

解：如图

\vec{AC}\cdot\vec{BD}=\frac{(|AD|^2+|BC|^2)-(|AB|^2+|CD|^2)}{2}=\frac{5^2+3^2-2^2-4^2}{2}=7

空间

例如图，在三棱锥D-ABC中，已知AB=2，\vec{AC}\cdot\vec{BD}=-3，\\设AD=a,BC=b,CD=c，则\frac{c^2}{ab+1}的最小值为

解：由对角线向量定理可得\vec{AC}\cdot\vec{BD}=-3\Rightarrow\\\frac{AD^{2}+BC^{2}-(AB^{2}+CD^{2})}{2}=-3,代入得a^{2}+b^{2}-4-c^{2}=-6 \\c^{2}=a^{2}+b^{2}+2\geq2ab+2,再代入原式即\geq2

高一数学向量知识点总结 第15篇

数学必修四知识点总结平面向量

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(_+_'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

a=(_,y) b=(_',y') 则 a-b=(_-_',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;

当λ<0时，λa与a反方向;

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a•b=_•_'+y•y'.

向量的数量积的运算律

a•b=b•a(交换律);

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);

(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a•b=0.

|a•b|≤|a|•|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.

2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a‖b〈=〉a×b=0.

向量的向量积运算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

6、向量的三角形不xxx式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

① 当且仅当a、b反向时,左边取xxx号;

② 当且仅当a、b同向时,右边取xxx号.

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

① 当且仅当a、b同向时,左边取xxx号;

② 当且仅当a、b反向时,右边取xxx号.

7、定比分点

定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)

设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.

若P1(_1,y1),P2(_2,y2),P(_,y),则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)

_=(_1+λ_2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

8、三点共线定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心