高中数列求和方法总结 第1篇

一教学知识点：

数列通项与数列求和

二. 教学要求：

掌握数列的通项公式的求法与数列前n xxx的求法。能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n项的和。

三. 教学重点、难点：

重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。

难点：转化的思想以及转化的途径。

四. 基本内容及基本方法

1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、Sn法、辅助数列法、归纳猜想法等;

(1)根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

(2)由Sn求an时，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件，a1应由a1=S1来确定，最后看二者能否统一.

(3)由递推公式求通项公式的常见形式有：an+1-an=f(n)，

=f(n)，an+1=pan+q，分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法).

2、数列的前nxxx

(1)数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。

求数列的前nxxx，一般有下列几种方法：

(2)等差数列的前nxxx公式：

Sn= = .

(3)等比数列的前nxxx公式：

①当q=1时，Sn= .

②当q≠1时，Sn= .

(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.

(5)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(6)裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.

方法归纳：①求和的基本思想是“转化”。其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式;其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。

②对通项中含有(-1)n的数列，求前nxxx时，应注意讨论n的奇偶性。

③倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前nxxx用到的方法，在复习中应给予重视。

【典型例题】

例1. 已知数列{an}的前nxxxSn=n2-9n.

(1)求证：{an}为等差数列;

(2)求S n的最小值及相应的n;

(3)记数列{

}的前nxxx为Tn，求Tn的表达式。

解：(1)n=1时，a1=S1=-8

n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10

∴ an=2n-10 an+1-an=2

∴ {an}是等差数列.

(2)Sn=n2-9n=(n-

)2-

∴当n=4或n=5时，Sn有最小值-20.

(3)an=2n-10 ∴ | an |=| 2n-10 |

令an≥0

n≥5 ∴ 当n≤4时，| an |=10-2n

Tn=

，当n≥5时，

Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

∴ Tn=

高中数列求和方法总结 第2篇

数列求和公式方法总结

数列求和是历年高考的必考内容，重点要熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式，其中错位相减法和裂项相消法也是考查的重点。下面为大家发分享了数列求和公式方法，希望对大家有帮助！

一、分组转化求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前nxxxSn时可以用分组求和法求解。一般步骤是：拆裂通项――重新分组――求和合并。

例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n

∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

=n（n+1）2

二、xxx析求和法

求一个数列的前nxxxSn，如果需要对n进行奇偶性讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为xxx析法。

例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶性有关，故利用xxx析法及分组求和法求解，也可以在xxx析法的基础上利用并项求和法求的`结果。

解：当n为偶数时，

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

=-n2-n2+n2+n2=n

当n为奇数时，

Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

=-n2+n2+n2-n2=-n

综上所述，Sn=（-1）nn

三、并项求和法

一个数列an的前nxxxSn中，某些项合在一起就具有特殊的性质，因此可以几项结合求和，再求Sn，称之为并项求和法。形如an=（-1）nf（n）的类型，就可以采用相邻两项合并求解。如例3中可用并项求和法求解。

例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

四、基本公式法

如果一个数列是符合以下某种形式，如等差、等比数列或通项为自然数的平方、立方的，那么可以直接利用以下数列求和的公式求和。

常用公式有

（1）等差数列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

（2）等比数列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

（4）1+3+5+…+2n-1=n2

（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

例1：已知等比数列an的通项公式是an=12n-1，设Sn是数列an的前nxxx，求Sn。

解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

五、裂项相消法

如果一个数列an的通项公式能拆分成两项差的形式，并且相加过程中可以互相抵消至只剩下有限项时，这时只需求有限项的和，把这种求数列前nxxxSn的方法叫做裂项相消法。

裂项相消法中常用的拆项转化公式有：

（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），

其中n∈N，k∈R且k≠0

例5：求数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

解由题知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

=2（1-1n+1）=2nn+1

高中数列求和方法总结 第3篇

不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。

一、已知数列的前几项

已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的'关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。